Äquivalenzrelationen, -klassen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgende Relationen Äquivalenzrelationen sind, beschreiben Sie die Äquivalenzklassen und bestimmen Sie ein Repräsentantensystem.
a) [mm] \sim [/mm] := { (x,y) [mm] \in \IR \times \IR [/mm] | (x+y)(x-y) = 0}
b) [mm] \sim [/mm] := ${ (x,y) [mm] \in \IR \times \IR [/mm] | [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IZ [/mm] mit x,y [mm] \in [/mm] [n, n+1)}$ |
Hallo,
Möchte mal fragen, ob das so richtig ist.
a)
reflexiv: xRx [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M
(x+x)(x-x) = 0 [mm] \gdw [/mm] 2x * 0 = 0 (erfüllt)
symmetrisch: xRy [mm] \Rightarrow [/mm] yRx [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M
Es gilt (wegen Nullprodukt): x+y = 0 = y+x (erfüllt)
transitiv: xRy und yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz [mm] \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] M
x+y=0 und
y+z=0 [mm] \gdw [/mm] y=-z
Insgesamt: x+(-z) = 0, also z = x (erfüllt)
Ist das so ok? Und wie bestimmt man die Klassen und ein Repräsentantensystem. Kann mir jemand dazu ein kleines Beispiel geben? Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Kann mir jemand vllt auch bei der b helfen. Hab das grad versucht, aber weiß nicht recht, wie man da anfangen soll. Selbst bei reflexiv bin ich überfragt. Die Bedingung versteh ich zwar, aber wie wendet man das an?
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Hi,
na es geht genauso
[mm]\{ (x,y) \in \IR \times \IR | \exists n \in \IZ \textrm{ mit } x,y \in [n, n+1)\} [/mm]
z.z.: [mm] $x\sim [/mm] x$. Setze N:=x, dann ist [mm] $x\in[n,n+1)$
[/mm]
Symmetrie
Sei [mm] $x\sim [/mm] y$ derart [mm] $\exists \; n\in \IZ\;|\;x,y\in[n,n+1)$.
[/mm]
z.z. [mm] $y\sim [/mm] x$, also [mm] $\exists [/mm] n' [mm] \ldots$.
[/mm]
Nimm doch einmal x,y aus [0,1]) mit (n=0). Was siehst du?
edit. Intervall war nur halboffen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Im Prinzip gibt es dann doch das n' und das müsste gleich n sein, oder? Im Grunde ändert sich ja nichts, wenn man x und y vertauscht. In deinem Beispiel gibt es immer zwei reelle Zahlen zwischen 0 und 1. Aber wie schreibt man das formal sauber auf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Fr 07.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Das ist wieder so ne Sache. Normalerweise würde ich trivial hinschreiben.
Müsste ich es trotzdem formal aufschreiben, würde ich soetwas schreiben:
Sei $n [mm] \in\IZ$ [/mm]
Sei x~y, d.h. [mm] $x,y\in [/mm] [n,n+1), d.h.
[mm] $n+1>x\geq [/mm] n$ und [mm] $n+1>y\geq [/mm] n$.
Du hast ja schon geschrieben, dass für n'=n auch y~x gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal für die Antwort. Versteh aber den Fehler noch nicht ganz. Ich hatte mich jetzt auf wieschoos Beispiel bezogen, wenn n = 0 ist. Kann aber auch sein, dass ich grad total falsch liege?
Kann mir auch jemand bei dem rest der b helfen? Ich versuch mal transitiv:
Also xRy, d.h. [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IZ [/mm] mit x,y [mm] \in [/mm] [n,n+1)
Also yRz, d.h. [mm] \exists [/mm] n' [mm] \in \IZ [/mm] mit y,z [mm] \in [/mm] [n,n+1)
Das ist eigentlich wieder trivial oder? Ich mein: Wenn nach Bedingung x und z für ein bestimmtes n in dem Intervall liegen, dann ist die Folgerung nach Voraussetzung schon erfüllt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Fr 07.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Danke erstmal für die Antwort. Versteh aber den Fehler
> noch nicht ganz. Ich hatte mich jetzt auf wieschoos
> Beispiel bezogen, wenn n = 0 ist. Kann aber auch sein, dass
> ich grad total falsch liege?
>
> Kann mir auch jemand bei dem rest der b helfen? Ich versuch
> mal transitiv:
>
> Also xRy, d.h. [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IZ[/mm] mit x,y [mm]\in[/mm] [n,n+1)
>
und
> Also yRz, d.h. [mm]\exists[/mm] n' [mm]\in \IZ[/mm] mit y,z [mm]\in[/mm] [n,n+1)
Eigentlich: Also yRz, d.h. [mm]\exists[/mm] n' [mm]\in \IZ[/mm] mit y,z [mm]\in[/mm] [n',n'+1)
So und jetzt zeigen: xRz:
Da xRy, ist y [mm]\in[/mm] [n,n+1), also n = n'. Damit ist wegen z [mm]\in[/mm] [n',n'+1), z [mm]\in[/mm] [n,n+1).
Also x,z [mm]\in[/mm] [n,n+1).
Damit xRz.
>
> Das ist eigentlich wieder trivial oder? Ich mein: Wenn nach
> Bedingung x und z für ein bestimmtes n in dem Intervall
> liegen, dann ist die Folgerung nach Voraussetzung schon
> erfüllt?
>
>
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ach so. Ja das versteh ich jetzt. Danke dir. Ähm, wie geht das denn hier mit der Äquivalenzklasse und dem Repräsentantensystem?
Ist das bei Letzterem diese Menge hier:
{ n [mm] \le [/mm] x,y < n+1} Darf man das so überhaupt aufschreiben?
Die Klassen sehe ich aber irgendwie nicht. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Sa 08.01.2011 | | Autor: | meili |
> Ach so. Ja das versteh ich jetzt. Danke dir. Ähm, wie geht
> das denn hier mit der Äquivalenzklasse und dem
> Repräsentantensystem?
>
> Ist das bei Letzterem diese Menge hier:
>
> [mm]\{ n \le x,y < n+1\}[/mm] Darf man das so überhaupt aufschreiben?
Ja. Allgemein eine Äquivalenzklasse: $n [mm] \in \IZ$, $\{x,y \in \IR | n \le x,y < n+1\}$ [/mm]
Ein Repräsentantensystem: [mm] $\IZ$. [/mm] (Weil's einfach aufzuschreiben ist)
Es gibt noch viele andere, man muss nur immer eine Zahl aus
jedem offenen Intervall [n; n+1), n [mm] $\in \IZ$ [/mm] nehmen.
>
> Die Klassen sehe ich aber irgendwie nicht. :(
Gruß
meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Fr 07.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass folgende Relationen Äquivalenzrelationen
> sind, beschreiben Sie die Äquivalenzklassen und bestimmen
> Sie ein Repräsentantensystem.
>
> a) [mm]\sim[/mm] := [mm]\{ (x,y) \in \IR \times \IR| (x+y)(x-y) = 0\}[/mm]
>
> b) [mm]\sim[/mm] := [mm]{ (x,y) \in \IR \times \IR | \exists n \in \IZ mit x,y \in [n, n+1)}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Möchte mal fragen, ob das so richtig ist.
>
> a)
>
> reflexiv: xRx [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M
>
> (x+x)(x-x) = 0 [mm]\gdw[/mm] 2x * 0 = 0 (erfüllt)
>
> symmetrisch: xRy [mm]\Rightarrow[/mm] yRx [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] M
>
> Es gilt (wegen Nullprodukt): x+y = 0 = y+x (erfüllt)
>
> transitiv: xRy und yRz [mm]\Rightarrow[/mm] xRz [mm]\forall[/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] M
>
> x+y=0 und
>
> y+z=0 [mm]\gdw[/mm] y=-z
>
> Insgesamt: x+(-z) = 0, also z = x (erfüllt)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist das so ok? Und wie bestimmt man die Klassen und ein
> Repräsentantensystem. Kann mir jemand dazu ein kleines
> Beispiel geben? Danke.
Sei y [mm] $\in \IR$, [/mm]
in einer Äquivalenzklassen sind die Zahlen aus $ [mm] \IR [/mm] $ mit $x [mm] \sim [/mm] y$:
eine Äquivalenzklasse [mm] $\{x \in \IR| x \sim y \}$ [/mm] und
y ein Repräsentant dieser Äquivalenzklassen.
Konkreter: Beispiele für Äquivalenzklassen: {5; -5}, {0}, {1,2; -1,2}
ein Repräsentantensystem: [mm] $\IR_0^+$
[/mm]
>
>
>
>
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..die Äquivalenzklassen bestehen hier dann aus einer Zahl x und dem inversen Element, oder? Aber wie schreibt man das dann auf? Soll hier ja anscheinend allgemein gemacht werden.
Das mit dem Repräsentantensystem ist mir aber leider noch nicht klar geworden, sry. Kannst du mir das nochmal erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Fr 07.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hmm..die Äquivalenzklassen bestehen hier dann aus einer
> Zahl x und dem inversen Element, oder? Aber wie schreibt
> man das dann auf? Soll hier ja anscheinend allgemein
> gemacht werden.
Bei a) bestehen die Äquivalenzklassen aus einer Zahl x und dem
inversen Element bezüglich der Addition.
(Hört sich etwas hoch gestochen an.)
Damit (x+y)*(x-y) = 0 ist, muss (x+y) = 0 oder (x-y) = 0 sein.
Also x = -y oder x = y.
Damit bilden {x; -x} eine Äquivalenzklasse für x [mm] $\in \IR$.
[/mm]
>
> Das mit dem Repräsentantensystem ist mir aber leider noch
> nicht klar geworden, sry. Kannst du mir das nochmal
> erklären?
Bei einem Repräsentantensystem nimmt man aus jeder Äquivalenzklasse einen Repräsentanten,
(also ein beliebiges Element der jeweiligen Äquivalenzklasse)
und die Menge dieser Repräsentanten bilden ein Repräsentantensystem.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke. In dem Fall gibt es aber nur eine Äquivalenzklasse, oder? Wäre [mm] \IR [/mm] dann das Repräsentatensystem?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Fr 07.01.2011 | | Autor: | meili |
> Danke. In dem Fall gibt es aber nur eine Äquivalenzklasse,
> oder? Wäre [mm]\IR[/mm] dann das Repräsentatensystem?
Nein, es gibt sehr viele Äquivalenzklassen.
Für jede positive reelle Zahl eine und noch eine für Null.
Ein Repräsentantensystem ist { x [mm] $\in \IR [/mm] | x [mm] \ge [/mm] 0 }.
Ein anderes { x [mm] $\in \IR [/mm] | x [mm] \le [/mm] 0 }.
Es gibt noch viele andere, aber die sind schwieriger aufzuschreiben.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..es tut mir wirklich leid, aber kapier das immer noch nicht ganz. Aber erstmal so gefragt: Kann ich das also einfach so da hinschreiben? Würde nur gerne verstehn, wie man darauf kommt.
Eine Äquivalenzklasse ist doch, salopp ausgedrückt, die Menge der Element, die gleich sind bgzl. einer Eigenschaft. Dann gäbe es aber doch auch die Äquivalenzklasse x=0, oder?
Und wie kommst du nun auf das Repräsentantensystem?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Sa 08.01.2011 | | Autor: | meili |
> Hmm..es tut mir wirklich leid, aber kapier das immer noch
> nicht ganz. Aber erstmal so gefragt: Kann ich das also
> einfach so da hinschreiben? Würde nur gerne verstehn, wie
> man darauf kommt.
>
> Eine Äquivalenzklasse ist doch, salopp ausgedrückt, die
> Menge der Element, die gleich sind bgzl. einer Eigenschaft.
> Dann gäbe es aber doch auch die Äquivalenzklasse x=0,
> oder?
Ja, Null passt auch in das Schema {x; -x}, da -0 = 0,
(auch wenn man -0 normalerweise nicht schreibt)
also ist {0} auch eine Äquivalenzklasse.
>
> Und wie kommst du nun auf das Repräsentantensystem?
Ich nehme einfach aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element
und achte darauf, dass es sich möglichst einfach aufschreiben lässt.
Gruß
meili
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