Äquivalenzumformung < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Also, ich habe gerade mal wieder die Diskussion darüber, ob Wurzelziehen nun eine Äquivalenzumformung ist oder nicht gelesen. Ich habe daraus jetzt entnommen, dass Wurzelziehen keine Äquivalenzumformung ist, und quadrieren genauso wenig. Ist das nun richtig?
Dann habe ich eine Frage zu dieser speziellen Antwort.
Und zwar steht dort das Beispiel [mm] x^2=9. [/mm] Ich würde diese Gleichung jetzt mit einen Äquivalenzzeichen umformen zu [mm] x=\pm [/mm] 3. Das würde doch aber stimmen, oder?
Allerdings würde ich, wenn es gefragt wird, als "Umformung" dazu schreiben, dass ich die Wurzel gezogen habe - das wäre dann allerdings nicht korrekt, da die Wurzel ja nur die positive Lösung dieser Gleichung ist. Also kann ich gar nichts hinschreiben, was ich wirklich als Umformung mache, sondern ich muss halt wissen, dass Gleichungen dieser Art zwei Lösungen haben.
So, und dann gerade noch eine kurze Frage:
Das Gleiche gilt wahrscheinlich auch für Ungleichungen, oder? Also darf ich dort auch nicht eine Ungleichung einfach quadrieren oder die Wurzel daraus ziehen!?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Zunächst mal vorneweg:
Das Quadrieren einer (Un-)Gleichung ist keine Äquivalenzumformung !!!
Hier können nämlich zusätzliche vermeintliche Lösungen entstehen. Daher ist bei der Lösung mit Quadrieren eine Probe unerläßlich!
Beispiel:
[mm] $\wurzel{1-x} [/mm] \ = \ -1$ [mm] $|^2$
[/mm]
[mm] $\red{\Rightarrow}$
[/mm]
$1-x \ = \ [mm] (-1)^2 [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ = \ 0$
Probe: [mm] $\wurzel{1-0} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1} [/mm] \ = \ 1 \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ -1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $L \ = \ [mm] \{ \ \}$
[/mm]
Das Wurzelziehen ist durchaus zulässig. Man sollte sich (zumindest in [mm] $\IR$) [/mm] aber verwissern, daß die Radikanden positiv (bzw. nicht-negativ) sind.
Aber gerade bei den Ungleichungen sollte man lieber sauber schreiben:
[mm] $x^2 [/mm] \ = \ 9$ $| \ [mm] \wurzel{ \ }$
[/mm]
[mm] $\red{\gdw}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \red{|}x\red{|} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{9} [/mm] \ = \ 3$
Durch Anwendung der Betragsfunktion wird dann daraus:
[mm] $\pm [/mm] x \ = \ 3$
Bei Gleichungen wird daraus ja schnell und abgekürzt geschrieben:
[mm] $x^2 [/mm] \ = \ 9$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] \pm [/mm] 3$
Bei Ungleichungen kann es hier zu Problemen kommen, da ja bei der Multiplikation mit negativen Zahlen (hier $(-1)_$ ) das Ungleichheitszeichen umgedreht werden muß!
Ich hoffe, ich konnte etwas zur Klärung beitragen ...
Gruß
Loddar
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Hallo Basiane,
> Also, ich habe gerade mal wieder die Diskussion darüber,
> ob Wurzelziehen nun eine Äquivalenzumformung ist oder nicht
> gelesen. Ich habe daraus jetzt entnommen, dass Wurzelziehen
> keine Äquivalenzumformung ist, und quadrieren genauso
> wenig. Ist das nun richtig?
> Dann habe ich eine Frage zu
> dieser speziellen Antwort.
>
> Und zwar steht dort das Beispiel [mm]x^2=9.[/mm] Ich würde diese
> Gleichung jetzt mit einen Äquivalenzzeichen umformen zu
> [mm]x=\pm[/mm] 3. Das würde doch aber stimmen, oder?
Na ja, solange du nicht weißt, ob x eingeschränkt ist, also wenn x [mm] \in \IR [/mm] gilt, musst du einfach vorsichtig sein:
[mm] $x^2 [/mm] = 9 [mm] \gdw [/mm] |x| = [mm] \wurzel{9} [/mm] = 3$
Die Wurzel aus einer Zahl ist stets "nicht negativ"!
Nun machst du eine Fallunterscheidung:
x [mm] \ge [/mm] 0: [mm] \Rightarrow [/mm] x = 3
$ x < 0: [mm] \Rightarrow [/mm] -x = 3 [mm] \gdw [/mm] x = -3 $
Die Wurzel aus [mm] $x^2$ [/mm] muss immer [mm] \ge [/mm] 0 sein, darum setzt man den Betrag und untersucht ihn anschließend.
Und damit ist das Wurzelziehen in dieser Variante durchaus eine Aquivalenzumformung; es werden daruch ja keine zusätzlichen "Lösungen" erzeugt.
Eigentlich hat Marc in seiner Antwort das gleiche gesagt, aber vielleicht hilft dir meine (andere) Wortwahl beim Verständins?
> Allerdings würde ich, wenn es gefragt wird, als
> "Umformung" dazu schreiben, dass ich die Wurzel gezogen
> habe - das wäre dann allerdings nicht korrekt, da die
> Wurzel ja nur die positive Lösung dieser Gleichung ist.
> Also kann ich gar nichts hinschreiben, was ich wirklich als
> Umformung mache, sondern ich muss halt wissen, dass
> Gleichungen dieser Art zwei Lösungen haben.
>
> So, und dann gerade noch eine kurze Frage:
> Das Gleiche gilt wahrscheinlich auch für Ungleichungen,
> oder? Also darf ich dort auch nicht eine Ungleichung
> einfach quadrieren oder die Wurzel daraus ziehen!?
>
> Viele Grüße
> Bastiane
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Da muß ich glatt nochmal in meinem Ausweis nachsehen 
... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
