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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Sa 01.12.2007 | | Autor: | verkackt |
Sei [mm] p:C^{1}[0,1] \to \IR [/mm] mit p(f)=sup |f´(x)| wobei x [mm] \in [/mm] [0,1]
Wir setzen [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{1} [/mm] =p(f)+ |f(0)| und
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{2} [/mm] =p(f)+sup |f(x)| mit x [mm] \in [/mm] [0,1]
Zeigen Sie, dass [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1} [/mm] und [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} [/mm] äquivalente Normen auf [mm] C^{1}[0,1] [/mm] sind.
Bei der ersten Teil der Aufgabe hab ich schon bewiesen, dass p eine Seminorm ist.
Ich weiß dass es für äquivalente Normen gilt:
[mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1} \sim \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} :\gdw
[/mm]
[mm] \exists [/mm] c: [mm] c^{-1} \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1} \le \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} \le \parallel .\parallel_{1} \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]
Ich weiß aber nicht, wie ich angangen soll!
Es wäre super, wenn jemand mir einen Tipp geben könnte.
Lg. Ver.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Sa 01.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Tipp: es geht um stetige differenzierbare Funktionen, daher gilt:
[mm] f(a) = f(0) + \integral_{0}^{a} {f'(x) dx} [/mm]
Damit kannst du [mm]\sup |f(x)|[/mm] abschätzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 02.12.2007 | | Autor: | verkackt |
Hi rainer und alle andere
Erstmal danke für deine Antwort, aber ich komme leider irgendwie damit nicht weiter.Ich hab [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} [/mm] so umgeformt:
sei sup |f(x)|=|f(a)| dann gilt
[mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2}=p(f)+sup|f(x)|=p(f)+f(a)=p(f)+|f(0)+\integral_{0}^{a}{f´(x) dx}| \le p(f)+|f(0)|+|\integral_{0}^{a}{f´(x) dx}| \le [/mm]
[mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1}+... [/mm] das hilft aber nicht weiter denn ich ein c suche mit obigen Eigenschaften!!!!!
Bitte hilf mir weiter.
Lg V.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 So 02.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi rainer und alle andere
> Erstmal danke für deine Antwort, aber ich komme leider
> irgendwie damit nicht weiter.Ich hab [mm]\parallel[/mm] .
> [mm]\parallel_{2}[/mm] so umgeformt:
> sei sup |f(x)|=|f(a)|
Wird das Supinum immer angenommen?
> [mm]\parallel \cdot \parallel_{2}=p(f)+sup|f(x)|=p(f)+f(a)=p(f)+|f(0)+\integral_{0}^{a}{f´(x) dx}| \le p(f)+|f(0)|+|\integral_{0}^{a}{f´(x) dx}| \le[/mm]
Die Annahme brauchst du gar nicht:
[mm] \| f\|_2 = p(f) + \sup |f(x)| = p(f) + \sup_{a\in[0,1]} \left|f(0)+\integral_{0}^{a}{f'(x) dx}\right| [/mm]
Jetzt wendest du die Dreiecksungleichung an:
[mm] \le p(f) +|f(0)| + \sup_{a\in[0,1]} \left|\integral_{0}^{a}{f'(x) dx}\right| \le p(f) +|f(0)| + \sup_{a\in[0,1]} \integral_{0}^{a}{|f'(x)| dx} [/mm].
So, der Integrand ganz rechts ist immer positiv, also kannst du das Integral abschätzen.
Den Rest solltest Du selbst können.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 So 02.12.2007 | | Autor: | verkackt |
Ich kann nur sagen, DANKE
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