www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraÄquvivalenzklassen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Äquvivalenzklassen
Äquvivalenzklassen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Äquvivalenzklassen: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Do 18.11.2004
Autor: DerMathematiker

Hallo Ihr,

also ich habe bewiesen, dass

wenn a [mm] \equiv a^{'} [/mm] mod n
und b [mm] \equiv b^{'} [/mm] mod n gilt, dass

a + b [mm] \equiv a^{'} [/mm] + [mm] b^{'} [/mm] mod n gilt und
dass
[mm] ab\equiv a^{'}b^{'} [/mm] mod n gilt...
nun soll ich zeigen, dass für zwei Äquivalenzklassen [a] und [b] gilt:

[a] + [b] = [a+b] und [a]*[b] = [ab] gilt...

wie mache ich das? Also die Relation solle Kongruenz modulo n sein und ich soll die oben schon bewiesenen sachen wieder benutzen...wie funktioniert das, denn Äquvalenzklassen sind ja art Mengen und ich weiß nit wie ich das beweisen soll....kann mal jemand zeigen, wie das gehen soll?

Voraussetzung ist ja (bei uns laut Skript):

[a1]  = [a2] und [b1] = [b2]

wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte.


Cu euer Andi

        
Bezug
Äquvivalenzklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Do 18.11.2004
Autor: Stefan

Hallo Andi!

Du hast da etwas missverstanden.

Du sollst nicht zeigen:

$[a] + [b] = [a+b]$

und

$[a] [mm] \cdot [/mm] [b] = [a [mm] \cdot [/mm] b]$,

weil man das gar nicht zeigen kann (es ist nämlich eine Definition). Du sollst nur zeigen, dass die seine sinnvolle Definition ist, sprich:

Du sollst zeigen, dass die Addition und Multiplikation wohldefiniert sind, so nennt man das. Was bedeutet das? Wie du ja siehst, sind beide Operationen repräsentantenweise definiert. Denn wie addiere ich $[a]$ und $[b]$?  Ich nehme mir $a$ aus $[a]$ und $b$ aus $[b]$, addiere beide in [mm] $\IZ$ [/mm] , erhalte $a+b$ und bilde wieder die Äquivalenzklasse: $[a+b]$.

Was wäre aber passiert, wenn ich nicht $a [mm] \in [/mm] [a]$ gewählt hätte und nicht $b [mm] \in [/mm] [b]$, sondern vielleicht $a' [mm] \in [/mm] [a]$ und $b' [mm] \in [/mm] [b]$?

Dann wäre ja $[a]=[a']$ (weil $a$ und $a'$ kongruent zueinander sind und daher die gleiche Äquivalenzklasse bilden) und ebenso $[b]=[b']$.

Aber wäre dann auch

$[a] + [b] = [a'] + [b']$?

Wäre dann also auch

$[a+b] = [a' + b']$?

Das sollst du überprüfen!

Beispiel: Wir rechnen modulo $3$.

Dann ist $1 [mm] \equiv [/mm] 4$ und $2 [mm] \equiv [/mm] 5$, also $[1]=[4]$ und $[2]=[5]$.

Frage:

Ist dann auch

$[1] + [2] = [4] + [5]$.

Wäre blöd wenn nicht, oder? Dann würde man zweimal das gleiche addieren und es käme was Unterschiedliches raus. Das würde nicht für die Definition der Addition von Kongruenzklassen sprechen!!

Die Frage ist also:

Gilt:

$[1+2] = [4+5]$?

(Denn so sind $[1] + [2]$ und $[4]+[5]$ ja definiert.)

Testen wir das mal:

Es gilt:

$[1+2] = [3]$

und

$[4 + 5] = [9]$.

Und es ist

$[3] = [0] = [9]$,

da $3$ und $9$ kongruent modulo $3$ sind (beide sind kongruent $0$ modulo $3$).

Du sollst das jetzt allgemein prüfen:

Also:

Folgt aus $[a]=[a']$ und $[b]=[b']$ auch

$[a+b] = [a'+b']$?

Prüfen wir das!

Aus $[a] = [a']$ und $[b] = [b']$ folgt:

$a [mm] \equiv [/mm] a' [mm] \pmod{n}$ [/mm]

und

$b [mm] \equiv [/mm] b' [mm] \pmod{n}$. [/mm]

Jetzt hast du aber bereits gezeigt (wie du sagst), dass daraus

$a+b [mm] \equiv [/mm] a' + b' [mm] \pmod{n}$ [/mm]

folgt.

Letzteres bedeutet aber gerade

$[a+b] = [a'+b']$,

was zu zeigen war. Damit hast du gezeigt, dass die Addition wohldefiniert ist, also nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt.

Gleiches sollte dir jetzt auch für die Multiplikation gelingen... :-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]