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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Fr 16.07.2010 | | Autor: | tux23 |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] die lineare Abbildung, deren Matrix bezüglich der Standard-basis [mm] B={e_1,e_2,e_3} [/mm] die Gestalt
[mm] A=\pmat{1&2&3\\2&-1&1\\-2&0&1}
[/mm]
hat.Berechnen Sie die Matrix der induzierten Abbildung [mm] \wedge^2f:\wedge^2\IR^3\to\wedge^2\IR^3 [/mm] bezüglich der durch B induzierten Basis von [mm] \wedge^2\IR^3. [/mm] |
Ich kann mir die induzierte Abbildung nicht richtig vorstellen. [mm] \wedge [/mm] soll hier das Dach-, bzw. das äußere Produkt sein.
Ich könnte mit [mm] Ae_1,Ae_2,Ae_3 [/mm] eine neue Basis konstruieren, das wäre dann wahrscheinlich meine „induzierte Basis”, also die Spalten von A ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Fr 16.07.2010 | | Autor: | blink23 |
hallo!
schau mal unter grassmann algebra nach! ein gutes beispiel für ein solches produkt sind die plücker koordinaten von geraden in einem projektiven raum.
deine basis ist [mm] $B=\{e_1,e_2,e_3\}$. [/mm] nun suchst du eine basis von [mm] $\wedge^2 \mathbb{R}^3$. [/mm] dazu musst du das dachprodukt x [mm] $\wedge$ [/mm] y (das ist dann in [mm] \wedge^2 \mathbb{R}^3$) [/mm] definieren. da aber jedes element x [mm] $\in$ $\mathbb{R}^3$ [/mm] eine darstellung [mm] $x=\lambda_1 e_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 e_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 e_3$ [/mm] hat und das dachprodukt linear ist, reicht es das dachprodukt für die basis zu berechnen, also [mm] $e_1 \wedge e_2$, $e_1 \wedge e_3$ [/mm] und [mm] $e_2 \wedge e_3$ [/mm] (wie du siehst, ist [mm] $dim(\wedge^2 \mathbb{R}^2)$ [/mm] = 3 :) ). die bilden eine basis und dann musst noch die abbildung betrachten.
lg und viel erfolg
josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Sa 17.07.2010 | | Autor: | tux23 |
Für die Definition von [mm] e_1\wedge e_2 [/mm] habe ich folgende Angaben gefunden:
[mm] v_1\wedge v_2 [/mm] + [mm] v_1\wedge v_2=0
[/mm]
Impliziert das schon die Definition von [mm] e_1\wedge e_2 [/mm] ?
(Danke für deine schnelle Antwort!)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Sa 17.07.2010 | | Autor: | blink23 |
> Für die Definition von [mm]e_1\wedge e_2[/mm] habe ich folgende
> Angaben gefunden:
> [mm]v_1\wedge v_2[/mm] + [mm]v_1\wedge v_2=0[/mm]
Nein, so stimmt das nicht ganz: der anti-commutator muss gleich 0 sein, dh: [mm]v_1\wedge v_2 + v_2\wedge v_1=0[/mm], aber das ist er immer^^
> Impliziert das schon die Definition von [mm]e_1\wedge e_2[/mm] ?
> (Danke für deine schnelle Antwort!)
Wir wissen ja auch schon, das der Vektorraum [mm] \wedge^2 \mathbb{R}^3 [/mm] Dimension 3 hat. Kennst du also eine Abbildung, die 2 Vektoren (dreisimensional) einen dritten Vektor (dreidimensional) zuweist?
gglg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 17.07.2010 | | Autor: | tux23 |
Ja, das ist zum Beispiel das tolle Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) aus der Schulzeit. Das war genau für [mm] v\in \IR^3 [/mm] definiert. Meintest du das?
Und für dieses würde auch [mm] v_1\wedge v_2+v_2\wedge v_1=0 [/mm] gelten.
(hoffentlich ist es das Vektorprodukt...)
Wie kann ich nun die zum Vektorprodukt gehörige Abbildungsmatrix B
angeben? Bei [mm] v_1 [/mm] B [mm] v_2 [/mm] erhalten ich ein Element aus [mm] \IR. [/mm] Ich müsste dann so etwas wie [mm] (v_1B)^t Bv_2 [/mm] angeben, wobei (v_1B)(v_2B)einfach einen neue Matrix nach dem Prinzip einer Multiplikationstabelle wie fürs kleine 1mal1 sein soll. Ist dann B überhaupt noch einen Abbildungsmatrix?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 So 18.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
[mm] $\wedge^2f: \wedge^2\IR^3 \to \wedge^2\IR^3$ [/mm] ist eine lineare Abbildung zwischen 2 3-dimensionalen Vektorräumen. Also ist eine 3 x 3 - Matrix gesucht.
A ist die Darstellungsmatrix von f zu der Basis B = [mm] ($e_1, e_2, e_3$). [/mm] So brauchst du zuerst eine Basis von $ [mm] \wedge^2\IR^3$, [/mm] die sich mit Hilfe von B ausdrücken lässt. In den vorherigen Posts wurde diese Basis schon angegeben. $ [mm] \wedge^2f$ [/mm] hat mit f, also A zu tun. Berechne was passiert, wenn A auf die Basisvektoren von [mm] $\wedge^2\IR^3 [/mm] $ wirkt.
Gruß meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Fr 16.07.2010 | | Autor: | blink23 |
aja, das dachprodukt ist auch antisymmetrisch, dh: [mm] $x\wedge [/mm] y$ = [mm] $-y\wedge [/mm] x$, hatte ich oben vergessen und dann auch wichtig zur berechnung der basis, weil ja sonst auch zb [mm] $e_2 \wedge e_1$ [/mm] vorkommt!
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