affin abhängig, linear abhängi < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Anweisungen paarweise äquivalent sind:
a) [mm] x_0,.....,x_n [/mm] sind affin unabhängig.
[mm] b)x_1 [/mm] - [mm] x_0,....,x_n [/mm] - [mm] x_0 [/mm] sind linear unabhängig
[mm] c)\vektor{x_0 \\ 1},......,\vektor{x_n \\ 1} \in \IR^d^+^1 [/mm] sind linear unabhängig
[mm] d)dim(aff(x_0,...,x_n)) [/mm] =n |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand ein paar Denkanstöße geben, wie ich an diese Aufgabe herangehen könnte. Habe irgendwie keine Ahnung .
Es kann auch durchaus sein, dass mir auch etwas an Grundwissen über lineare Abhängigkeit bzw. affine Abhängigkeit fehlt.
Also, die Definitionen kenne ich und verstehe ich auch einigermaßen. Aber vielleicht gibt es ja noch irgendwelche Eigenschaften, die ich nicht kenne und die in diesem Zusammenhang wichtig sein könnten?!
Bin dankbar für jeden Tipp!
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> Zeigen Sie, dass die folgenden Anweisungen paarweise
> äquivalent sind:
> a) [mm]x_0,.....,x_n[/mm] sind affin unabhängig.
> [mm]b)x_1[/mm] - [mm]x_0,....,x_n[/mm] - [mm]x_0[/mm] sind linear unabhängig
> [mm]c)\vektor{x_0 \\ 1},......,\vektor{x_n \\ 1} \in \IR^d^+^1[/mm]
> sind linear unabhängig
> [mm]d)dim(aff(x_0,...,x_n))[/mm] =n
> Hallo,
>
> kann mir vielleicht jemand ein paar Denkanstöße geben,
> wie ich an diese Aufgabe herangehen könnte. Habe irgendwie
> keine Ahnung .
>
> Es kann auch durchaus sein, dass mir auch etwas an
> Grundwissen über lineare Abhängigkeit bzw. affine
> Abhängigkeit fehlt.
> Also, die Definitionen kenne ich und verstehe ich auch
> einigermaßen. Aber vielleicht gibt es ja noch irgendwelche
> Eigenschaften, die ich nicht kenne und die in diesem
> Zusammenhang wichtig sein könnten?!
Hallo,
welche Kenntnisse Dir möglicherweise fehlen, können wir ja nur herausfinden, wenn Du mal die Dir vorliegenden Definitionen postest und zeigst, wie Deine Lösungsansätze aussehen.
So aus dem Nichts heraus...
Gruß v. Angela
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Hallo,
also linear abhängig bedeutet ja, dass es für eine Menge von Vektoren
[mm] x_1,....,x_n [/mm] eine Menge von reellen Zahlen [mm] \lambda_1,......, \lambda_n [/mm] gibt, die nicht alle gleich Null sind, so dass gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i x_i [/mm] =0
Diese Menge von Vektoren sind dann affin abhängig, wenn zusätzlich noch gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i [/mm] =0
Also ist ja die affine Abhängigkeit eine stärkere Bedingung als die lineare Abhängigkeit.
Ist das richtig so?
Es ist doch auch so, dass wenn ich mehr als n Vektoren aus [mm] \IR^n [/mm] gegeben habe, diese immer linear abhängig sind bzw. wenn ich mehr als n+1 Vektoren aus [mm] \IR^n [/mm] gegeben habe diese immer affin abhängig sind.
Ist das richtig so? Und wenn ja, kann ich diese Eigenschaft in einem der Beweise hier verwenden?
Das ist bisher alles, was ich über affine bzw. lineare Abhängigkeit weiß (insofern, dass denn stimmt?)
Würden diese Informationen nun reichen, um die hier geforderten Beweise zu formulieren oder nicht?
Vielen Dank schonmal,
schlumpfinchen!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Di 13.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hallo,
>
> also linear abhängig bedeutet ja, dass es für eine Menge
> von Vektoren
> [mm]x_1,....,x_n[/mm] eine Menge von reellen Zahlen
> [mm]\lambda_1,......, \lambda_n[/mm] gibt, die nicht alle gleich
> Null sind, so dass gilt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i x_i[/mm] =0
>
> Diese Menge von Vektoren sind dann affin abhängig, wenn
> zusätzlich noch gilt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i[/mm] =0
>
> Also ist ja die affine Abhängigkeit eine stärkere
> Bedingung als die lineare Abhängigkeit.
> Ist das richtig so?
Jupp.
> Es ist doch auch so, dass wenn ich mehr als n Vektoren aus
> [mm]\IR^n[/mm] gegeben habe, diese immer linear abhängig sind bzw.
> wenn ich mehr als n+1 Vektoren aus [mm]\IR^n[/mm] gegeben habe
> diese immer affin abhängig sind.
> Ist das richtig so?
Ja.
> Und wenn ja, kann ich diese
> Eigenschaft in einem der Beweise hier verwenden?
Weiß ich nicht - ich sehe keinen Beweis.
> Würden diese Informationen nun reichen, um die hier
> geforderten Beweise zu formulieren oder nicht?
Die Äquivalenzen a bis c auf alle Fälle. Für die d fehlt natürlich noch deine Definitionen von affiner Dimension und Hülle. (Aber ich bin mir sicher, dass dies auch reichen würde).
SEcki
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Hallo,
ok, vielen Dank erstmal.
Ich werds dann mal damit versuchen.
> > Und wenn ja, kann ich diese
> > Eigenschaft in einem der Beweise hier verwenden?
>
> Weiß ich nicht - ich sehe keinen Beweis.
Kann man nicht sagen, dass etwas ein Beweis ist, wenn man wie hier zeigt, dass zwei Aussagen äquivalent sind?
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> > > Und wenn ja, kann ich diese
> > > Eigenschaft in einem der Beweise hier verwenden?
> >
> > Weiß ich nicht - ich sehe keinen Beweis.
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> Kann man nicht sagen, dass etwas ein Beweis ist, wenn man
> wie hier zeigt, dass zwei Aussagen äquivalent sind?
Hallo,
wenn man beweist, daß zwei Aussagen äquivalent sind, und wenn man das auch richtig tut, dann ist es natürlich ein Beweis!
Aber: in diesem Thread gibt es bisher keinen Beweis.
Es gibt eine zu beweisende Behauptung
und Deine Absicht, diese Behauptung zu beweisen.
Und wenn Du diese Absicht dann in die Tat umsetzt, also die zu beweisende Aussage beweist, dann kannst Du gewiß die Definition und die genannten Eigenschaften gut verwenden.
Gruß v. Angela
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