affine Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Wie berechnet man [mm] \integral_{X'} {x_{1}*x_{2} dx}, [/mm] wobei X' [mm] \subset \IR^2 [/mm] das Parallelogramm mit den Ecken (0,0), (1,1),(2,0),(3,1) ist.
Ich weiss, dass man dabei eine Substitutionsformel für affine Transformationen benutzen soll. Verstehe aber nicht den Sinn von dieser.
Könnte mir jemand bitte helfen?
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Fr 11.11.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Elena
Der Zweck der Transformation ist, dass man das Parallelogramm in ein Rechteck verwandelt, dann kann man das Integral mit dem Satz von Fubini leicht aufteilen. Hier genügt sogar eine lineare Transformation.
Ich würde es so machen, dass der Vektor (1,0) bleibt, und dass der Vektor (1,1) auf (0,1) abgebildet wird.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
Danke!
Ich hab aber noch eine Frage: wie macht man das mit dem Satz von Fubini?
Ich hab schon mit der lin Transformation geschafft
|
|
|
| |
|
Warum das Parallelogramm [mm]P[/mm] nicht gleich in das Einheitsquadrat [mm]E = [0,1] \times [0,1][/mm] überführen:
[mm]\int_P^{}~xy~\, \mathrm{d}(x,y) \ = \ 2 \int_E^{}~(2u+v) v~\, \mathrm{d}(u,v)[/mm]
Bewerkstelligt wird das vermöge
[mm]A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \ \ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
durch die lineare Abbildung
[mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \ \ \text{bzw.} \ \ \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm]
Und die Integration über das Einheitsquadrat zerfällt in zwei Integrationen über das Intervall [mm][0,1][/mm] (Fubini):
[mm]\int_E^{}~\ldots~\mathrm{d}(u,v) \ = \ \int_0^1~\int_0^1~\ldots~\mathrm{d}u~\mathrm{d}v \ \ \ \text{oder} \ \ = \int_0^1~\int_0^1~\ldots~\mathrm{d}v~\mathrm{d}u[/mm]
|
|
|
|
