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| Aufgabe | | Seien A,B [mm] \subset [/mm] V affine Unterräume, sodass die zugehörigen Unterräume von V komplementär sind. Zeigen Sie: A [mm] \cap [/mm] B besteht aus genau einem Punkt. |
hi, also erstmal hätt ich ne verständnisfrage: und zwar was bedeutet denn, die zugehörigen unterräume von V sind komplementär?
und A [mm] \cap [/mm] B ist ja der schnitt.. das heißt sie berühren sich in einem Punkt.. wie soll der denn aus einem Punkt bestehen???
kann mir das vielleicht einer erklären
ich wäre dankbar..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Morgen,
vielleicht soll ''komplementär'' heissen, dass sie nur die 0 gemeinsam haben, zusammen aber den ganzen Vektorraum V erzeugen (aufspannen).
D.h. V= [mm] A'\oplus [/mm] B' (direkte Summe, es seien A', B' die zu A,B gehörigen Vektorräume),
wie geschrieben, das ist nur eine Vermutung, allerdings bin ich da schon recht sicher, dass es sowas heissen muss.
Ok, seien unter dieser Annahme mal
[mm] A=A'+a,\:\: B=B'+b\:\:\:; (a,b\in [/mm] V).
Es ist ja [mm] a,b\in A'\oplus [/mm] B', also a= [mm] a_{A'}+a_{B'},\: b=b_{A'}+b_{B'} [/mm]
mit [mm] a_{A'},b_{A'}\in [/mm] A', [mm] a_{B'},b_{B'}\in [/mm] B'
Behauptung (zeichne Dir mal ein Beispiel im [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] A'=\{(0,x)|x\in\IR\}, B'=\{(x,0)|x\in\IR\} [/mm] auf, um diese Behauptung bzw wie man auf sie kommt, nachzuvollziehen):
a+ [mm] b_{A'}-a_{A'}\:\: =\:\: [/mm] b+ [mm] a_{B'}-b_{B'}
[/mm]
ist der gewünschte Punkt.
Gruss,
Mathias
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