affine Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mo 30.05.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo ich glaub ich hab schon mal was zu affinen Unterräumen gefragt aber nun mal eine Aufgabe dazu wo ich nicht weiss was ich machen soll
kann mir bitte jemand helfen???
Geben sie die Lösungsmengen des Gleichungssysteme in der Form der affinen Unterräume an
a)
[mm] 2x_1+0x_2+1x_3=4
[/mm]
[mm] 2x_1+1x_2+1x_3=6
[/mm]
danke schon mal im vorraus für eure hilfe
[mm] -4x_1+2x_2-2x_3=4 [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo mausi.
Zur Lösung dieser Aufgabe empfiehlt sich der Gaußsche Algorithmus. So du ihn kennst, versuche bitte, ihn anzuwenden; ist dem nicht so - was ich mir allerdings nicht vorstellen kann - so informiere dich bitte über ihn. Wenn du die Aufgabe selbst zu lösen versucht hast, dann poste bitte deine Ansätze und wir werden dir dort gezielt weiterhelfen.
Viele Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 30.05.2005 | | Autor: | mausi |
also habe mal Gauss angewendet
ergibt
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & |4 \\
0 & 1 & 0 & |2 \\
0 & 0 & 0 & |8
\end{pmatrix}
[/mm]
so und wie bestimme ich jetzt die lösungsmenge in der Form der affinen Unterräume?
eindeutig is ja [mm] x_2 [/mm] = 2 und die anderen beiden sind voneinander abhängig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mo 30.05.2005 | | Autor: | NECO |
HALLO
Die Gleichungssystem ist aber nicht lösbar, wie du gerechnet hast.
ODER??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
dein Retter ist da! 
Ich denke, mit "Angabe als linearer Raum" ist lediglich gemeint, dass du einen fixen Lösungsvektor (genannt Punkt) und einen zugehörigen Linearen Raum angibst. Das ist die Lösung des Zugehörigen Homogenen Gleichungssystems.
> also habe mal Gauss angewendet
>
> ergibt
>
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & |4 \\
0 & 1 & 0 & |2 \\
0 & 0 & 0 & |8
\end{pmatrix}[/mm]
Ich denke, da hat du dich verschrieben. Nach mir sieht das so aus:
[mm] $\begin{pmatrix}2&0&1&|4\\0&1&0&|2\\0&0&0&|0\end{pmatrix}$
[/mm]
Das ist dann äquivalent zu diesem:
[mm] $\begin{pmatrix}2&0&1&|4\\0&1&0&|2\end{pmatrix}$
[/mm]
Du hast also zwei Aufgaben:
1) Finde irgend eine beliebige Lösung.
2) Finde die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.
Die Summe von 1) und 2) ist dann das gesuchte Resultat.
Zu 1)
Hier kann man einfach für die Variablen hinter der Diagonalen Null einsetzen und dann die anderen Werte bestimmen:
[mm] $\begin{pmatrix}2&0&1&|4\\0&1&0&|2\end{pmatrix}$
[/mm]
ergibt:
[mm] $\begin{pmatrix}2&0&0&|4\\0&1&0&|2\end{pmatrix}$
[/mm]
Und das gibt den Vektor [mm] $\vektor{2\\2\\0}$
[/mm]
Die 3. Komponente Null haben wir ja fix vorgegeben.
Überprüfe bitte, ob dieser Vektor tatsächlich das Gleichungssystem erfüllt!
Zu 2)
Jetzt also das zugehörige Homogene Gleichungssystem:
[mm] $\begin{pmatrix}2&0&1&|0\\0&1&0&|0\end{pmatrix}$
[/mm]
Hier ist das Verfahren ähnlich: du setzt fix für eine Variable hinter der Diagonale den Wert 1, sofern es hinter der Diagonalen noch weitere Variablen hat (das ist hier nicht der Fall), setzt du diese Null und löst das Gleichungssystem auf.
Die Linearkombinationen der so berechneten Vektoren (hier ist es nur einer) ergeben dann die Lösungsmenge. Diese errechneten Vektoren bilden also eine Basis des Lösungsraumes.
Also: wir setzen fix für [mm] $x_3$ [/mm] den Wert $1_$ und berechnen daraus [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$:
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix}2&0&1&|0\\0&1&0&|0\end{pmatrix}$
[/mm]
das gibt dann für [mm] $x_1$ [/mm] aus der 1. Gleichung den Wert [mm] $-\bruch{1}{2}$, [/mm] und aus der 2. Gleichung [mm] $x_2=0$
[/mm]
Ein Basisvektor ist also dieser:
[mm] $\vektor{-\bruch{1}{2}\\0\\1}$
[/mm]
Um den Bruch zu eliminieren, können wir den auch mit 2 multiplizieren:
[mm] $\vektor{-1\\0\\2}$
[/mm]
Die Lösungsmenge des Zugehörigen Homogenen Gleichungssystems ist also diese:
[mm] $\lambda*\vektor{-1\\0\\2}$
[/mm]
Somit ergibt sich als Resultat:
[mm] $\vektor{2\\2\\0}+\lambda*\vektor{-1\\0\\2}$
[/mm]
Mach dir das bitte auch geometrisch klar:
Die Lösungen des Gleichungssystems und des Zugehörigen Homogenen Gleichungssystem bilden immer parallele Räume, hier parallele Geraden.
Als Kontrolle vielleicht:
Du musst also [mm] $x_1=2-\lambda$, $x_2=2$ [/mm] und [mm] $x_3=2\lambda$ [/mm] setzen können, und unabhängig des Lambdas müssen die Gleichungen erfüllt sein! 
Ist alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mo 30.05.2005 | | Autor: | mausi |
Super toll erklärt vielen herzlichen Dank du bist wirklich immer mein Retter,
ich bin voll beeindruckt wie jedes Mal das du das immer alles so gut weisst
danke danke danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Di 31.05.2005 | | Autor: | mausi |
ich habe das mal für die 2. Aufgabe alleine ausgerechnet
b)
[mm] 2x_1-3x_2 [/mm] = -5
[mm] -4x_1+6x_2=10
[/mm]
nach Gauss bleibt nur noch
[mm] \begin{matrix}
2 & -3 & |-5 \\
0 & 0 & | 0
\end{matrix}
[/mm]
nach dem anderen Schema komme ich dann auf
(-5/2,0)+t(3/2,1)
wie begründe ich die Lösbarkeit der Gleichungssysteme mit Hilfe des Ranges der Koeffizientenmatrix und der erweiterten matrix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Di 31.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Susi
> ich habe das mal für die 2. Aufgabe alleine ausgerechnet
>
> b)
> [mm]2x_1-3x_2[/mm] = -5
> [mm]-4x_1+6x_2=10[/mm]
>
> nach Gauss bleibt nur noch
> [mm]\begin{matrix}
2 & -3 & |-5 \\
0 & 0 & | 0
\end{matrix}[/mm]
> nach dem
> anderen Schema komme ich dann auf
> (-5/2,0)+t(3/2,1)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") das sieht ganz danach aus, als hättest du exakt das von mir beschriebene verfahren angewendet. Super!!
> wie begründe ich die Lösbarkeit der Gleichungssysteme mit
> Hilfe des Ranges der Koeffizientenmatrix und der
> erweiterten matrix
Nun, die nicht erweiterte Matrix ist ja diese:
[mm] $\pmat{2&-3\\0&0}$
[/mm]
Ihr Rang ist die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen, also $1_$.
Die erweiterte Matrix ist diese:
[mm] $\pmat{2&-3&-5\\0&0&0}$
[/mm]
Auch hier ist der Rang = $1_$.
Der Rang der erweiterten Matrix stimmt also mit dem Rang der Matrix überein, somit ist das Gleichungssystem lösbar. Etwas besser formuliert vielleicht: die Lösungsmenge ist nicht leer! Ich meine nämlich, auch wenn die Ränge nicht übereinstimmen, ist das Gleichungssystem lösbar, nämlich mit der leeren Menge als Lösungsmenge. Das ist aber Sache der Interpretation, philosophisch!
Wäre die erweiterte Matrix zum Beispiel so:
[mm] $\pmat{2&-3&-5\\0&0&3}$
[/mm]
Dann würde ihr Rang $2_$, der Rang der nicht erweiterten Matrix selber aber immer noch $1_$, also ungleich. Das Gleichungssystem wäre dann nicht lösbar (hätte die leere Menge als Lösungsmenge )
Du brauchst ja nur die erweiterte Matrix wieder in ein Gleichungssystem umzuformulieren, dann sollte es klar sein:
[mm] $2*x_1-3*x_2=-5$
[/mm]
[mm] $0*x_1+0*x_2=3$
[/mm]
Es gibt sicher keine [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$, [/mm] welche die 2. Gleichung erfüllen!
Alle klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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