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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nevin!
Weil es so drängt bei dir und so wichtig ist, hier die ganze Lösung (ich lasse nur ganz kleine Lücken, die du bitte noch füllst):
Es sei [mm] $(v_1,\ldots,v_k)$ [/mm] eine Basis von $W$. Diese Basis von $W$ ergänzen wir im Falle $k<n$ zu einer Basis [mm] ${\cal V}:=(v_1,\ldots, v_k,v_{k+1},\ldots, v_n)$ [/mm] von $V$. Für einen beliebigen Vektor
$x = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i$
[/mm]
definieren wir nun:
$F(x) = [mm] \sum\limits_{i=k+1}^n \lambda_i v_i$.
[/mm]
(Im Falle $n=k$ ist dann $F [mm] \equiv [/mm] 0$.)
Offenbar ist $F: V [mm] \to [/mm] V$ linear (das kannst du ja mal zeigen, liebe Nevin!).
Ebenso offensichtlich gilt: $Kern(F) = W$.
Es sei nun $A$ die Abbildungsmatrix von $F$ bezüglich der Basis [mm] $(v_1,\ldots,v_n)$. [/mm] (Kannst du die explizit angeben?)
Dann gilt genau dann zu $x [mm] \in [/mm] Kern(F) = W$, wenn
[mm] $Ax_{\cal V} [/mm] = 0$,
wobei [mm] $x_{\cal V} \in \IK^n$ [/mm] der Koordinatenvektor bezüglich der Basis [mm] ${\cal V}=(v_1,\ldots,v_n)$ [/mm] ist.
Daraus folgt:
Es gilt genau dann $x [mm] \in [/mm] X=v + W$, wenn
[mm] $Ax_{\cal V} [/mm] = [mm] Av_{\cal V}$,
[/mm]
wobei [mm] $x_{\cal V}$ [/mm] der Koordinatenvektor zu $x$ und [mm] $v_{\cal V}$ [/mm] der Koordinatenvektor zu $v$ bezüglich der Basis [mm] ${\cal V}=(v_1,\ldots,v_n)$ [/mm] ist. Mit $b:= [mm] Av_{\cal V} \in \IK^n$ [/mm] folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Sa 26.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Stefan,
ich habe für [mm] $\cal [/mm] V$ immer [mm] $V_B$ [/mm] genannt, aber das ist doch egal denke ich oder?
>Offenbar ist $F: V [mm] \to [/mm] V$ linear (das kannst du ja mal zeigen, liebe Nevin!).
Also das habe ich dann so gemacht:
Seien $v,u [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\mu \in [/mm] K$.
1.)
$F(v+u) $
$= [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (v+u)_i$
[/mm]
$= [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (v_i+u_i)$
[/mm]
$= [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (v_i) [/mm] + [mm] \lambda_i \cdot (u_i)$
[/mm]
$= [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (v_i) [/mm] + [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (u_i)$
[/mm]
$= F(v) +F(u)$
2.)
[mm] $F(\mu \cdot [/mm] v) $
$= [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (\mu \cdot v)_i$
[/mm]
$= [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot \mu \cdot v_i [/mm] $
$= [mm] \summe_{i=k+1}^{n} \mu \cdot \lambda \cdot v_i$
[/mm]
$= [mm] \mu \cdot \summe_{i=k+1}^{n} \lambda \cdot v_i [/mm] $
$= [mm] \mu \cdot [/mm] F(v)$
>Ebenso offensichtlich gilt: $Kern(F) = W$.
Eeeem sollte man das auch zeigen?? Denn damit hätte ich dann ein Problem :-(
Ich weiss nicht wie ich das mit $F(v)=0$ zeigen soll...
Vielen Dank nochmals
Schöne Grüsse
nevinpol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 So 27.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nevin!
> Hallo Stefan,
>
> ich habe für [mm]\cal V[/mm] immer [mm]V_B[/mm] genannt, aber das ist doch
> egal denke ich oder?
Ja, klar.
> >Offenbar ist [mm]F: V \to V[/mm] linear (das kannst du ja mal
> zeigen, liebe Nevin!).
>
> Also das habe ich dann so gemacht:
>
> Seien [mm]v,u \in V[/mm] und [mm]\mu \in K[/mm].
>
> 1.)
>
> [mm]F(v+u)[/mm]
> [mm]= \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (v+u)_i[/mm]
> [mm]= \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (v_i+u_i)[/mm]
>
> [mm]= \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (v_i) + \lambda_i \cdot (u_i)[/mm]
>
> [mm]= \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (v_i) + \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (u_i)[/mm]
>
> [mm]= F(v) +F(u)[/mm]
Das macht leider überhaupt keinen Sinn.
Richtig geht es so: Seien $x= [mm] \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i$ [/mm] und $y = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \mu_i v_i$. [/mm] Dann gilt:
$F(x+y)$
$= [mm] \sum\limits_{i=k+1}^n(\lambda_i [/mm] + [mm] \mu_i)v_i$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{i=k+1}^n \lambda_i v_i [/mm] + [mm] \sum_{i=k+1}^n \mu_i v_i$
[/mm]
$= F(x) + F(y)$.
> 2.)
>
> [mm]F(\mu \cdot v)[/mm]
> [mm]= \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot (\mu \cdot v)_i[/mm]
>
> [mm]= \summe_{i=k+1}^{n} \lambda_i \cdot \mu \cdot v_i[/mm]
> [mm]= \summe_{i=k+1}^{n} \mu \cdot \lambda \cdot v_i[/mm]
>
> [mm]= \mu \cdot \summe_{i=k+1}^{n} \lambda \cdot v_i[/mm]
> [mm]= \mu \cdot F(v)[/mm]
Hier ist ebenfalls die Argumentation falsch, allerdings fällt es hier nicht so auf. Richtig ist: Für $x = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i$ [/mm] und [mm] $\mu \in \IK$ [/mm] gilt:
[mm] $F(\mu [/mm] x)$
$= [mm] \sum\limits_{i=1}^n \mu\lambda_i v_i$
[/mm]
$= [mm] \mu \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i$
[/mm]
$= [mm] \mu [/mm] F(x)$.
> >Ebenso offensichtlich gilt: [mm]Kern(F) = W[/mm].
Ist $x [mm] \in [/mm] W$, dann gilt
$x = [mm] \sum\limits_{i=1}^k \lambda_i v_i$. [/mm]
Daraus folgt nach Definition von $F$ unmittelbar: $F(x)=0$.
Ist umgekehrt für [mm] $x=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i$:
[/mm]
$0 = F(x)= [mm] \sum\limits_{k+1}^n \lambda_i v_i$, [/mm]
so folgt:
$x = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^k \lambda_i v_i \in [/mm] W$.
Es war also in der Tat trivial.
Ist es dir denn jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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