algebraischer Vielfachheit < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:40 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Wie ist der Zusammenhang zwischen algebraischer Vielfachheit von A und der von [mm] \mu [/mm] A wobei [mm] \mu \in\IK, \mu \not= [/mm] 0 |
Ich weiß, dass die EIgenräume gleich sind(geometrischen Vielfachheiten gleich), da die Eigenvektoren gleich sind.
Und wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A ist, ist [mm] \mu \lambda [/mm] ein EIgenwert von [mm] \mu [/mm] A (schon in Vo. bewiesen)
Die algebraischer Vielfachheit eines Eigenwerts $ [mm] \lambda_i [/mm] $ ist die Vielfachheit von $ [mm] \lambda_i [/mm] $ als Nullstelle des char. Polynoms.
Das charakteristische Polynom lautet:
det (A- [mm] \lambda I_n)
[/mm]
und das für die matrix [mm] \mu [/mm] A lautet
det ( [mm] \mu [/mm] A - [mm] \mu \lambda [/mm] I)
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> Wie ist der Zusammenhang zwischen algebraischer
> Vielfachheit von A und der von [mm] \mu A[/mm] wobei [mm]\mu \in\IK, \mu \not=[/mm] 0
> Ich weiß, dass die EIgenräume gleich sind(geometrischen
> Vielfachheiten gleich), da die Eigenvektoren gleich sind.
> Und wenn [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von A ist, ist [mm]\mu \lambda[/mm]
> ein EIgenwert von [mm]\mu[/mm] A (schon in Vo. bewiesen)
>
> Die algebraischer Vielfachheit eines Eigenwerts [mm]\lambda_i[/mm]
> ist die Vielfachheit von [mm]\lambda_i[/mm] als Nullstelle des char.
> Polynoms.
Hallo,
es ist [mm] \chi_A(t)=det(A-tE)[/mm] und [mm]\chi_{\mu A}(t)=det(\mu A-tE)[/mm], und nicht so, wie Du geschrieben hast!
Wenn A eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix ist, hast Du damit [mm]\chi_{\mu A}(t)=\mu^n det(A-(\mu^{-1}t)E).[/mm]
Vielleicht bringt Dich das auf Ideen.
LG Angela
> Das charakteristische Polynom lautet:
> det (A- [mm]\lambda I_n)[/mm]
> und das für die matrix [mm]\mu[/mm] A
> lautet
> det ( [mm]\mu[/mm] A - [mm]\mu \lambda[/mm] I)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> es ist $ [mm] \chi_A(t)=det(A-tE) [/mm] $ und $ [mm] \chi_{\mu A}(t)=det(\mu [/mm] A-tE) $, und nicht so, wie Du geschrieben hast!
> $ [mm] \chi_{\mu A}(t)=\mu^n det(A-(\mu^{-1}t)E). [/mm] $
= [mm] \mu^n \chi_A(\mu^{-1}t) [/mm] = [mm] \chi_A(t)
[/mm]
Bedeutet die charakteristischen Polynome sind gleich.
STimmts?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu,
> > [mm]\chi_{\mu A}(t)=\mu^n det(A-(\mu^{-1}t)E).[/mm]
> = [mm]\mu^n \chi_A(\mu^{-1}t)[/mm]
> = [mm]\chi_A(t)[/mm]
Die letzte Gleichheit stimmt nicht.
Nimm an, die algebraische Vielfachheit von [mm] $\lambda$ [/mm] als Eigenwert von $A$ sei etwa $m$.
Welche Gestalt hat dann [mm] $\chi_A$?
[/mm]
Verwende das in obiger Gleichungskette.
Zeige so, dass die algebraische Vielfachheit [mm] $\mu\lambda$ [/mm] als Eigenwert von [mm] $\mu [/mm] A$ mindestens $m$ ist.
Verwende ein Symmetrieargument, um zu zeigen, dass diese algebraische Vielfachheit auch höchstens $m$ sein muss.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> algebraische Vielfachheit von $ [mm] \lambda [/mm] $ als Eigenwert von A sei etwa m.
Nullstelle [mm] \lambda [/mm] des Polynoms mit der Vielfacheit m .
Welche Gestalt hat dann $ [mm] \chi_A [/mm] $?
Ich weiß dass ein Teil des charakteristischen Polynom (z- [mm] \lambda)^m [/mm] sein wird.
Ich komme noch nicht ganz weiter..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > algebraische Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm] als Eigenwert von A
> sei etwa m.
> Nullstelle [mm]\lambda[/mm] des Polynoms mit der Vielfacheit m .
>
> Welche Gestalt hat dann [mm]\chi_A [/mm]?
> Ich weiß dass ein Teil
> des charakteristischen Polynom (z- [mm]\lambda)^m[/mm] sein wird.
Genau. Also [mm] $\chi_A(z)=(z-\lambda)^m*\chi_A'(z)$ [/mm] für ein Polynom [mm] $\chi_A'$.
[/mm]
Also [mm] $\chi_{\mu A}(t)=\mu^n\chi_A(\mu^{-1}t)=\ldots$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> $ [mm] \chi_{\mu A}(t)=\mu^n\chi_A(\mu^{-1}t)=\ldots [/mm] $
= [mm] \mu^n [/mm] *( [mm] \mu^{-1} [/mm] t - [mm] \lambda)^m [/mm] *$ [mm] \chi_A' [/mm] $( [mm] \mu^{-1}t)
[/mm]
-> algebraische Vielfachheit von $ [mm] \mu\lambda [/mm] $ als Eigenwert von $ [mm] \mu [/mm] A $ mindestens m
> Verwende ein Symmetrieargument, um zu zeigen, dass diese algebraische Vielfachheit auch höchstens m sein muss.
Da bin ich noch ratlos..!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]\chi_{\mu A}(t)=\mu^n\chi_A(\mu^{-1}t)=\ldots[/mm]
> = [mm]\mu^n[/mm] *(
> [mm]\mu^{-1}[/mm] t - [mm]\lambda)^m[/mm] *[mm] \chi_A' [/mm]( [mm]\mu^{-1}t)[/mm]
> -> algebraische Vielfachheit von [mm]\mu\lambda[/mm] als Eigenwert
> von [mm]\mu A[/mm] mindestens m
Also ich benötige da noch einen Zwischenschritt, um das einzusehen:
[mm] $\ldots=\mu^{n-m}(t-\mu\lambda)^m*\chi_A'(t)$.
[/mm]
> > Verwende ein Symmetrieargument, um zu zeigen, dass diese
> algebraische Vielfachheit auch höchstens m sein muss.
> Da bin ich noch ratlos..!?
Du hast gezeigt: Für alle [mm] $\mu'\in [/mm] K$ mit [mm] $\mu'\not=0$ [/mm] gilt: Hat eine Matrix $A'$ den Eigenwert [mm] $\lambda'$ [/mm] mit gewisser algebraischer Vielfachheit, so hat [mm] $\mu' [/mm] A'$ den Eigenwert [mm] $\mu'\lambda'$ [/mm] mit mindestens so großer algebraischer Vielfachheit.
Wende dies auf [mm] $\mu'=\mu^{-1}$, $A'=\mu [/mm] A$ und [mm] $\lambda'=\mu\lambda$ [/mm] an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Übersetzt
Hat eine Matrix [mm] \mu [/mm] A den Eigenwert $ [mm] \mu \lambda [/mm] $ mit gewisser algebraischer Vielfachheit, so hat A den Eigenwert [mm] \lambda [/mm] mit mindestens so großer algebraischer Vielfachheit.
Aber das wars jetzt nicht oder?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:57 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke,
Und bei der algebraischen Vielfachheit von einer Matrix A und ihrer Inversen gilt doch dasselbe oder?
[mm] p_A (\lambda) [/mm] = det(A- [mm] \lambda I_n) [/mm]
[mm] p_{A^{-1}} (\lambda) [/mm] = det [mm] (A^{-1} [/mm] - [mm] \lambda I_n)
[/mm]
[mm] p_A [/mm] ( [mm] \lambda) [/mm] = det(A- [mm] \lambda I_n) [/mm] = det(A) * det(I - [mm] \lambda A^{-1}) [/mm] = det(A) * [mm] \lambda^n [/mm] * [mm] det(\lambda^{-1} [/mm] *I - [mm] A^{-1})= [/mm] - det(A) * [mm] \lambda^n [/mm] * [mm] p_{A^{-1}}(\lambda^{-1})
[/mm]
Hat a als EW von A Vielfacheit m
so ist zuzeigen, dass die algebraische Vielfachheit von [mm] a^{-1} [/mm] als Eigenwert von [mm] A^{-1} [/mm] mind. m hat.
[mm] (\lambda [/mm] - [mm] a)^m [/mm] * [mm] p'(\lambda) [/mm] = - det(A) * [mm] \lambda^n [/mm] * [mm] p_{A^{-1}}(\lambda^{-1})
[/mm]
<=>
[mm] p_{A^{-1}}(\lambda^{-1}) [/mm] = - [mm] \frac{(\lambda - a)^m* p'(\lambda)}{det(A) * \lambda^n}
[/mm]
Ist da was schief gelaufen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 01.05.2012 | | Autor: | matux |
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