allg. Frage total diffbar etc. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Mo 12.06.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvur nicht gestellt)
Hallo,
ich frage mich seit dem wir mit der mehrdimensionalen analysis anfgefangen haben, wie man auf manche definitionen gekommen ist.
Zum Beispiel kann man sich unter einer total differnzierbaren Abbildung von [mm] \IR^2\to\IR [/mm] noch genau vorstellen was gemeint ist (und zwar das man eine tangentialebene an jeden Punkt des graphen anlegen kann)
doch wenn man zB eine abb. vom [mm] \IR^5\to\IR^5 [/mm] hat, dann ist das doch nur noch rein theoretisch und hat gar keine wirklich bedeutung mehr oder? also falls man diese def. nur macht weil man aus der zB auch stetigkeit folgern kann, dann könnte man doch sicher auch eine andere finden oder? und die zugehörigen jacobi matritzen dieser abb. kann man ja auch nicht mehr wirklich als steigung interpretieren wenn doch, wovon? eine ebene kann das ja nicht mehr wirklich sein.
die anschauliche bedeutung von stetigkeit (das man den graphen zB zeichnen kann ohne den stift vom blatt zu nehmen im 1dimensionalen) gibts ja da auch überhaupt nicht mehr.
ich hoffe einer versteht was ich meine und kann mir etwas weiterhelfen.
vielen dank im voraus und gruß
|
|
| |
|
Hallo AriR,
man kann sowohl stetigkeit als auch diffbarkeit stringent und plausibel auch für sehr abstrakte räume, zB. unendlichdimensionale banachräume, definieren, ohne dass man die anschauung der niederdimensionalen reellen räume zur Verfügung hat.
was heißt stetigkeit?: das eps-delta-kriterium sagt nichts anderes, als dass der wert einer abbildung nur wenig wackeln darf, wenn man am argument ein wenig wackelt. aus meiner sicht anschaulich, auch ohne stift-absetz-kriterium... 
diffbarkeit: differenzierbarkeit heißt, dass man eine abbildung durch eine lineare abbildung 'hinreichend gut' approximieren kann. etwas vereinfacht heißt das, dass der lokale fehler die form [mm] $R(h)=\|h\|^{\alpha}$ [/mm] haben muss, mit [mm] $\alpha>1$. [/mm] dabei soll $h$ die abweichung vom punkt [mm] $x_0$ [/mm] sein, in dem man die ableitung berechnet.
für beide definitionen braucht man also eigentlich nur normierte vektorräume.
Etwas klarer jetzt?
Gruß
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 12.06.2006 | | Autor: | AriR |
ja auf jeden fall.
nur bei der diffbarkeit hakts noch ein wenig und zwar:
etwas vereinfacht heißt das, dass der lokale fehler die form haben muss, mit $ [mm] R(h)=\|h\|^{\alpha} [/mm] $ dabei soll h die abweichung vom punkt sein, in dem man die ableitung berechnet.
wenn du das etwas genauer erklären könntest wäre das echt nett von dir. besonders dieses $ [mm] R(h)=\|h\|^{\alpha} [/mm] $
danke und gruß Ari
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mo 12.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Wenn ich mich in diese grundlegende Diskussion einmischen darf.
Wenn man eine Funktion (egal in welchem Raum, indem man Abstände zwischen seinen Elementen messen kann, z.B. in einem norm. Raum; entsprechendes gilt auch für den Raum des Bildes der Funktion) an einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] differenzieren, dann kann man ihr Änderungsverhalten beliebig genau durch eine lineare Abbildung an dieser Stelle approximieren.
Ein Maß für das Änderungsverhalten einer Funktion (wie sich der Funktionswert ändert, wenn man die Variable ändert) ist die Stetigkeit. Das ist ein qualitatives Maß - man weiß, dass nicht allzugroße Änderungen der Funktionswerte möglich sind, wenn man die Eingabewerte ein bisschen abändert. Im Allgemeinen lässt sich keine quantitative Aussage über diese Änderung machen - man kann sie höchstens durch eine Lipschitz-const abschätzen, falls die überhaupt existert.
Man hat nach einem Kriterium gesucht, mit dem man auch qualitative Aussagen darüber machen kann. Das muss für eine große Klasse von Funktionen gehen, insbesondere für sehr komplizierte Funktion, und relativ einfach sein. Also versucht man die Änderung einer Funktion durch eine lineare Abbildung (etwas besonders Einfaches) zu approximieren.
Wie jede Approximation ist auch die Differenziation mit einem Approximationsfehler behaftet. Deshalb wäre es ganz toll, wenn der Fehler im Rahmen eines Grenzwertprozess verschwinden würde. Durch solche Überlegungen kommt man zur Definition:
f bei [mm] x_{0} [/mm] diffbar genau dann, wenn eine lineare Abbildung (also Matrix) mit der Eigenschaft: f(x+h)-f(x)=Ah+r(h), mit [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{r(h)}{||h||}=0 [/mm] existiert.
Das h ist das Maß für die Änderung der Variablen, das Ah ist das Maß für die Änderung der Funktionswerte (der Funktion f(x+h)-f(x)), r(h) ist der Approximationsfehler.
Durch [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{r(h)}{||h||}=0 [/mm] wird sichergestellt, dass der Fehler sehr rasch klein wird, wenn h gegen 0 strebt (man erwartet ja, dass ein Bruch gegen unendlich strebt, wenn der Nenner gegen 0 geht). A und r(h) hängen natürlich von der betrachteten Stelle x ab.
Wie so viele anderen "Zufälle" in der Mathematik, stellt sich fest, dass A gerade die Jacobimatrix und dass sie eindeutig ist.
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Di 13.06.2006 | | Autor: | AriR |
das hat mir schonmal viel weitergeholfen danke :)
kann man das dann in etwas so verstehen. angenommen man hat die fkt [mm] f(x)=x^2 [/mm] (diese funktion ist jetzt nicht kompliziert, es soll nur ein bsp. sein)
und man möchte sagen wir mal eine guten approximation der funktion in einer kleinen umgebung für x=2 haben.
dann ist ja f'(x)=4 und somit hat man relativ leicht die tangente an pkt x=2 gefunden (bzw. die approximation) und beschränkt sich dann für nähere betrachtung der fkt f in einer kleinen umgebung von x=2 auf diese tangente oder habe ich das falsch verstanden?
danke und gruß ari :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Di 13.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
Richtig verstanden
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 13.06.2006 | | Autor: | AriR |
aber das kann dann ja für nur wirklich seeeeeeeeeeehr kleine intervalle klappen oder? wo in der praxis muss man denn soooooooo kleine intervalle betrachten? ich dachte immer diese ganze sachen mit dem differentialquotienten usw gibts nur um einfach extremstellen, wendestellen usw zu finden. war das dann sozusagen ein nebenprodukt der differentialrechnung, dass man mit deren hilfe sehr leicht extremstellen usw finden kann?
vielen dank nochmal für die antworten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 13.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
> aber das kann dann ja für nur wirklich seeeeeeeeeeehr
> kleine intervalle klappen oder? wo in der praxis muss man
> denn soooooooo kleine intervalle betrachten? ich dachte
> immer diese ganze sachen mit dem differentialquotienten usw
> gibts nur um einfach extremstellen, wendestellen usw zu
> finden. war das dann sozusagen ein nebenprodukt der
> differentialrechnung, dass man mit deren hilfe sehr leicht
> extremstellen usw finden kann?
Das ist wirklich ein Nebenprodukt, das nur auf der Schule so betont wird, weil man damit so schöne, immer eigentlich gleichartige Aufgben zusammenschustern kann.
Mit Hilfe der differentialrechng kann man "neue" Funktionen herstellen, wie [mm] e^{x} [/mm] als einfachste, Die polynome und rationalen fkt die ihr so eifrig auf der Schule untersucht habt, sind meist nur als Näherungen für interessante Fkt. interessant.
Übrigens ,was sehr klein ist, ist immer Ansichtssac und hängt davon ab, welchen Fehler man noch akzeptiert.Wie rechnest du schnell [mm] \wurzel{101} [/mm] ohne Tr, auf 2 Stellen hinter dem Komma? du darfst [mm] \wurzel{100}kennen [/mm] und natürlich die Ableitung von [mm] \wurzel{x}oder sin(1°)=sin(\pi/180) [/mm] ohne TR aber du darfst die Ableitung kennen und cos(0)=1
Und jetzt denk ich wir tragen diesen thread zu Grabe!
requiescat in pace
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mo 12.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
Nur eine Bemerkung zu stetig. Eine "normale" stetige Funktion kann man NICHT mit dem Bleistift nachziehen,(auch nicht für kleine Stücke!) nur brave Schulfunktionen.die so läppische Unstetigkeiten wie "sprungstellen haben., Es gibt sicher mehr nicht "nachziehbare" stetige Fkt. als du je in deinem Leben, pro ms eine Aufzählen könntest!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mo 12.06.2006 | | Autor: | AriR |
ja ich hab das jetzt mehr betont, weil ich gehofft habe, dass das problem so besser klar wird :)
vielen dank schonmal für alle antworten.. die sind alle sehr hilfreich
|
|
|
|
