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| Aufgabe | | [mm] (1+x^2)y'-xy=0 [/mm] |
[mm] y'=\bruch{xy}{1+x^2}
[/mm]
So, jetzt hab ich wieder das Problem dass ich nicht weiß wie es weiter geht. Könnt ihr mir vielleicht Tipps geben?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 So 13.11.2011 | | Autor: | kiwibox |
Ich würde dir ja gerne helfen, leider weiß ich aber nicht, was du machen sollst. Kannst du nicht deine komplette Aufgabenstellung hier hinschreiben, damit wir alle wissen, was deine genaue Aufgabe ist?
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Hallo,
> [mm](1+x^2)y'-xy=0[/mm]
> [mm]y'=\bruch{xy}{1+x^2}[/mm]
>
> So, jetzt hab ich wieder das Problem dass ich nicht weiß
> wie es weiter geht. Könnt ihr mir vielleicht Tipps geben?
Deine DGL ruft ja förmlich nach einer TdV = Trennung der Variablen!
[mm](1+x^2)y'-xy=0[/mm]
[mm](1+x^2)y'=xy[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{y} \; [/mm] dy [mm] \, [/mm] = [mm] \; \frac{1}{2} *\int \frac{2x}{1+x^2} \; [/mm] dx$
Und nun - ganz feste an den Logarithmus naturalis denken.
LG, Martinius
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hier hab ich wohl noch einen wichtigen Zusatz vergessen:
|x|<1
ändert das etwas an dem was du mir mit Trennung der Variablen umgestellt hast?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> hier hab ich wohl noch einen wichtigen Zusatz vergessen:
>
> |x|<1
>
> ändert das etwas an dem was du mir mit Trennung der
> Variablen umgestellt hast?
Nein - rechne nun die Integrale aus und denk an den Sonderfall y=0.
LG
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okay, dann müsste folgendes herauskommen:
[mm] ln(y)=\bruch{1}{ln(x^2+1)+C}
[/mm]
stimmt das soweit?
Ich bin mir jetzt nur nicht ganz sicher wie ich nach y umstelle. ich muss mich mit dem Logarithmus wohl nochmal gründlich auseinander setzen!
für y=0 ist der Logarithmus unendlich.
mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 So 13.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> okay, dann müsste folgendes herauskommen:
>
> [mm]ln(y)=\bruch{1}{ln(x^2+1)+C}[/mm]
>
> stimmt das soweit?
Nein.
Stammfunktion von [mm] 2x/(x^2+1) [/mm] = ???
FRED
> Ich bin mir jetzt nur nicht ganz sicher wie ich nach y
> umstelle. ich muss mich mit dem Logarithmus wohl nochmal
> gründlich auseinander setzen!
>
> für y=0 ist der Logarithmus unendlich.
>
> mathegirl
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[mm] ln(x^2+1)+C [/mm] ist doch die Stammfunktion oder?
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 So 13.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]ln(x^2+1)+C[/mm] ist doch die Stammfunktion oder?
Ja . Und was folgt dann aus
$ [mm] \int \frac{1}{y} \; [/mm] dy [mm] \, [/mm] = [mm] \; \frac{1}{2} \cdot{}\int \frac{2x}{1+x^2} \; [/mm] dx $
?
FRED
>
> Mathegirl
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oh, da hatte ich wohl die 2 vergessen:
[mm] ln(y)=\bruch{1}{2*ln(x^2+1+C)}
[/mm]
und jetzt ist das problem da wie ich nach y auflöse. Denn ln kann ich ja nicht einfach auf beiden Seiten weglassen.
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
durch welchen Zauber kommt der ln in den Nenner?
schreib ordentlich links und rechts die Stammfunktion hin!
Gruss leduart
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[mm] ln(y)=\bruch{1}{2}ln(x^2+1+C)
[/mm]
Ich weiß nicht was du meinst, ich habe ln dann nur mit dem [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zusammengezogen, daher kommt ln in den Nenner
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh dich nicht ! wie wird aus 1/2*a 1/(a)???
du hast fast richtig
$ [mm] ln(y)=\bruch{1}{2}ln(x^2+1+C) [/mm] $
falsch ist, dass C in der Klammer steht: richtig
$ [mm] ln(y)=\bruch{1}{2}ln(x^2+1)+C [/mm] $
jetzt auf beiden Seiten die Exponentialfkt anwenden, dann hast du y=?
gruss leduart
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[mm] y=\bruch{1}{2}e^{(x^2+1}+C
[/mm]
müsste dann die allg. Lösung sein!
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
wie Du richtig festgestellt hast bestehen bei Dir Probleme im Umgang mit Logarithmen!
[mm] $(1+x^2)*y'=xy$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{y} \; [/mm] dy [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{2}* \int \frac{2x}{1+x^2} \; [/mm] dx$
$ln|y| [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{2}*ln|1+x^2|+C'$
[/mm]
$ln|y| [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] ln [mm] \wurzel{1+x^2}+C'$
[/mm]
$y [mm] \; [/mm] = [mm] \; C*\wurzel{1+x^2}$
[/mm]
Bitte eröffne in Zukunft doch einen neuen thread, wenn Du eine neue Aufgabe hast!
LG, Martinius
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| Aufgabe | | [mm] y'=\bruch{1}{y}\wurzel{1-y^2} [/mm] |
Könnt ihr mir hier auch Tipps geben wie ich die DGL lösen kann?
Es fällt mir unheimlich schwer den richtigen Weg zur Lösung zu finden...
Lösung mittels getrennter Variablen fällt ja hier eigentlich weg.
MfG
Mathegirl
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> [mm]y'=\bruch{1}{y}\wurzel{1-y^2}[/mm]
> Könnt ihr mir hier auch Tipps geben wie ich die DGL lösen kann?
Trennung der Variablen.
> Es fällt mir unheimlich schwer den richtigen Weg zur
> Lösung zu finden...
> Lösung mittels getrennter Variablen fällt ja hier eigentlich weg.
Warum?
[mm] y'=\bruch{1}{y}\wurzel{1-y^2} [/mm]
[mm] $\int\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}dy=\int1 [/mm] dx$, Sonderfälle beachten.
LG
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okay, dann erhalte ich:
[mm] -\wurzel{1-y^2}=x+C
[/mm]
Sonderfälle_ y<1 ansonsten kein Wurzelziehen möglich
[mm] y=\pm\wurzel{x^2+1+C}
[/mm]
Stimmt das so?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> okay, dann erhalte ich:
>
> [mm]-\wurzel{1-y^2}=x+C[/mm]
>
> Sonderfälle_ y<1 ansonsten kein Wurzelziehen möglich
>
Es muss doch hier gelten: [mm]\vmat{y} \le 1[/mm]
Weiterhin ist hier noch zu beachten, daß x+C < 0 ist.
> [mm]y=\pm\wurzel{x^2+1+C}[/mm]
> Stimmt das so?
>
Nein, die Umformung stimmt nicht.
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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hmm..wo hab ich beim Umformen einen Fehler gemacht? hab es eben nochmal probiert und komme immer auf das gleiche Ergebnis. beide Seiten quadrieren, damit ich [mm] y^2 [/mm] erhalte und dann Wurzel ziehen auf beiden Seiten.
MfG
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> hmm..wo hab ich beim Umformen einen Fehler gemacht? hab es
> eben nochmal probiert und komme immer auf das gleiche
> Ergebnis. beide Seiten quadrieren, damit ich [mm]y^2[/mm] erhalte
> und dann Wurzel ziehen auf beiden Seiten.
>
Höchstwahrscheinlich beim Quadrieren.
Bis hierhin stimmts:
[mm]-\wurzel{1-y^{2}}=x+C[/mm]
Nach dem Quadrieren steht dann da:
[mm]1-y^{2}=\left(x+C\right)^2[/mm]
> MfG
> mathegirl
Gruss
MathePower
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also muss [mm] y=\pm\wurzel{(x+C)^2+1} [/mm] sein?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> also muss [mm]y=\pm\wurzel{(x+C)^2+1}[/mm] sein?
Unglaublich ...
[mm] $1-y^2=(x+C)^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y^2=1-(x+C)^2$
[/mm]
Also [mm] $y=\pm [/mm] ...$
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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