allg.:lot auf ebene durch punk < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo zusammen...
folgendes problem:
-eine ebene im 3D-raum ist bekannt durch 2 vektoren; deren (gemeinsamer) stützvektor ist auch stützvektor der ebene...
-ein punkt ist bekannt...
ich suche das lot auf der ebene durch den punkt. einfach oder?
ABER:
ich brauche das für ein programm, das ich schreibe. daher muss das alles in ALLGEMEINER FORM passieren.
zum schluss muss es irgendwie möglich sein, dass ich die koeffizienten in der koordinatenform als variablen habe:
E: a * x + b * y + c * z = k
a=?
b=?
c=?
mein ansatz war:
wenn ich die ebene in ein gleichungssystem umwandle....
x = p1 + a1 * s + b1 * t
E: y = p2 + a2 * s + b2 * t
z = p3 + a3 * s + b3 * t
....muss ich maximal 2 gleichungen davon mit je einer zahl (m,n) multiplizieren, sodass für den hinteren (interessanten) teil der gleichungen gelten muss:
a1 * n + a2 * m + a3 = 0 und
b1 * n + b2 * m + b3 = 0
also
x = p1 + a1 * s + b1 * t
+ y = p2 + a2 * s + b2 * t
+ z = p3 + a3 * s + b3 * t
dann würden s und t verschwinden.... und ich hätte meine koordinatenform und damit meinen gesuchten richtungsvektor des lotes...
oder?
ich hab versucht das zu lösen und es ergeben sich wohl auch formeln für n und m, die nur aus a1,a2,a3 und b1,b2,b3 bestehen...
die sind aber nicht anwendbar... ich weiß nur nicht warum ( vermute, dass der oben genannte ansatz schon falsch ist... )
muss man evtl. einbeziehen, dass die skalarprodukte vom Lot und den beiden vektoren der ebene 0 sein muss?
ich hab auf meiner schule einen lehrer gefragt, aber der hat auch an einem bestimmten punkt angefangen sich für p1, p2,p3, a1,a2,a3 und b1,b2,b3 irgendwelche zahlen auszudenken, also eine konkrete ebene festzulegen...
aber ich brauche nunmal einen weg, der für JEDE (oder wenigstens bis auf wenige spezialfälle, die man gesondert behandeln kann) ebene gleich funktioniert...
naja, ich danke mal im voraus, falls jemand weiß ob das überhaupt geht und wenn ja, wie....
grüße SMP...
P.S.: sorry, dass ich nicht die schönen symbole verwendet habe...hoffe es geht auch so..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:30 So 14.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo smokieMcPot,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> muss man evtl. einbeziehen, dass die skalarprodukte vom Lot
> und den beiden vektoren der ebene 0 sein muss?
Ja, das ist genau der Punkt.
Bisher hast du ja gar nicht einfließen lassen, dass der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht.
Du hast also die Ebene
$E: [mm] \vec x=\vektor{p_1\\p_2\\p_3}+s*\vektor{a_1\\a_2\\a_3}+t*\vektor{b_1\\b_2\\b_3}$
[/mm]
gegeben und suchst a,b,c,k mit
$E: a * x + b * y + c * z = k$ (Koordinatenform)
Den Normalenvektor [mm] $\vektor{a\\b\\c}$ [/mm] kannst du auf zweierlei Weise bestimmen:
1. Löse das Gleichungssystem
[mm] a*a_1+b*a_2+c*a_3=0
[/mm]
[mm] a*b_1+b*b_2+c*b_3=0
[/mm]
(Die Richtungsvektoren stehen also senkrecht auf dem Normalenvektor)
Dieses Gleichungssystem ist  unterbestimmt, deswegen wirst du bzw. dein Programm einen der drei Werte a,b,c selbst wählen müssen (das Programm muss nicht nur den Wert wählen können, sondern auch die Variable a,b,c, du wirst aber schnell merken, nach welchen Kriterien das Programm die eine Variable wählen sollte und diese z.B. den Wert 1 gibt).
2. Die zweite und bequemste Möglichkeit ist das Vektorprodukt.
Dieses liefert dir direkt als Formel den Normalenvektor.
Der Wert k (siehe oben) ist dann einfach das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Stützvektor, also [mm] $k=a*p_1+b*p_2+c*p_3$.
[/mm]
Viel Erfolg,
Marc
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