allgemeine Fragen zu Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....da ich die letzte Woche nur auf die Analysis Klausur hingelernt habe, habe ich den aktuellen Stoff in Analysis ein bißchen verschlafen....vielleicht könnt ihr mir helfen...
1.Frage: Was ist der Unterschied zwischen Reihen und Folgen?
Etwa der:
Eine Partialsummenfolge : [mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k}
[/mm]
n ist hierbei endlich darum ist der Summenterm eine Folge oder?
Bei einer Reihe hingegen ist n = [mm] \infty [/mm] schaut also so aus oder?
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} a_{k}
[/mm]
2.Frage richtet sich an eine Stelle im Skript die ich nicht so ganz kapiere:
Zitat vom Skript: "Seien [mm] s_{n} [/mm] bzw. s'_{n} die Partialsummenfolgen von
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} a_{k} [/mm] bzw. [mm] \summe_{k=k_{0}}^{ \infty} a_{k}"
[/mm]
Schaut dann [mm] s_{n} [/mm] bzw. s'_{n} so aus?:
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k}
[/mm]
s'_{n} = [mm] \summe_{k=k_{0}}^{n} a_{k}
[/mm]
"Dann gilt für alle [mm] n>=k_{0}: [/mm]
[mm] s_{n} [/mm] = s'_{n} + [mm] \summe_{k=1}^{K_{0} - 1} a_{k}"
[/mm]
Warum? Wie sehe ich das heraus?
"Also konvergieren entweder beide Reihen oder keine, ihre Summen unterscheiden sich im Fall der Konvergenz um [mm] \summe_{k=1}^{K_{0} - 1} a_{k}."
[/mm]
Hier kapier ich gar nichts mehr....wie kann man so einen Schluss aus den Summen ziehen?
3.Frage:
Wieder zu einem Satz im Skript den ich nicht so ganz kapiere:
[mm] "\summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] konvergiert [mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0
[mm] \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n >= [mm] n_{0} \forall [/mm] p [mm] \in \IN [/mm] :
|| [mm] \summe_{i=1}^{ p} a_{n+i} [/mm] || < [mm] \varepsilon"
[/mm]
Dann haben wir aufgeschrieben dass das ja genau das Cauchy-Kriterium ist....nur wieso? Ich hab mir das Cauchy-Kriterium angeschaut und kann
irgendwie keine große Ähnlichkiet erkennen......
Dann haben wir zur allgemeinen Verwirrung nach das notiert:
|| [mm] \summe_{i=1}^{ p} a_{n+i} [/mm] || = || [mm] s_{n+p} [/mm] - [mm] s_{n} [/mm] ||
Aber dass ist gerade nicht das Cauchy-Kriterium da p eine fixe Variable ist........ich kapiers nicht...
mfg,
Hannes
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Hallo,
oh, oh, oh, so viele Fragen.
Mal schauen, ob sich die Verwirrung etwas lichten läßt.
> 1.Frage: Was ist der Unterschied zwischen Reihen und
> Folgen?
Eine Reihe ist auch eine Folge, eine auf eine ganz bestimmte Art gemachte Folge:
Wenn man eine Folge [mm] (a_n), [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gegeben hat nennt man die Folge
[mm] (a_1, a_1+a_2, a_1+a_2+a_3,...) [/mm] die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i.
[/mm]
Diese Reihe ist also die Folge [mm] (s_n) [/mm] der Partialsummen, [mm] s_n:= \summe_{i=1}^{n}a_i.
[/mm]
Mit [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] bezeichnet man aber auch den Grnzwert der Reihe, sofern er existiert.
Und ich glaube, diese doppelte Verwendung von [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] ist das,was leicht Verwirrung stiftet
> Eine Partialsummenfolge
Eine Reihe IST (s.o.) eine Partialsummenfolge, eine FOLGE von Partialsummen.
>
> 2.Frage richtet sich an eine Stelle im Skript die ich nicht
> so ganz kapiere:
> Zitat vom Skript: "Seien [mm]s_{n}[/mm] bzw. s'_{n} die
> Partialsummenfolgen von
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} a_{k}[/mm] bzw. [mm]\summe_{k=k_{0}}^{ \infty} a_{k}"[/mm]
>
> Schaut dann [mm]s_{n}[/mm] bzw. [mm] s_{n}^{'} [/mm] so aus?:
> [mm]s_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm]
> [mm] s_{n}^{'} [/mm] =
> [mm]\summe_{k=k_{0}}^{n} a_{k}[/mm]
Ja.
>
> "Dann gilt für alle [mm]n>=k_{0}:[/mm]
> [mm]s_{n}[/mm] = s'_{n} + [mm]\summe_{k=1}^{K_{0} - 1} a_{k}"[/mm]
>
> Warum? Wie sehe ich das heraus?
Schau, die Summe bei [mm] s_n [/mm] läuft von 1 bis n, die bei [mm] s_n^{'} [/mm] läuft von [mm] k_o [/mm] bis n. Welcher Teil der Summe fehlt? Der von 1 bis [mm] k_0-1.
[/mm]
>
> "Also konvergieren entweder beide Reihen oder keine, ihre
> Summen unterscheiden sich im Fall der Konvergenz um
> [mm]\summe_{k=1}^{K_{0} - 1} a_{k}."[/mm]
>
> Hier kapier ich gar nichts mehr....wie kann man so einen
> Schluss aus den Summen ziehen?
Angenommen, die Folge [mm] (s_n) [/mm] hat einen Grenzwert a. Die Folgenglieder rücken also für genügend großes n beliebig dicht an a heran. Die Folgenglieder [mm] s_{n}^{'} [/mm] unterscheiden sich von [mm] s_n [/mm] jeweils - egal für welches n - immer um [mm]\summe_{k=1}^{K_{0} - 1} a_{k}[/mm], also rücken sie beliebig dicht an a- [mm]\summe_{k=1}^{K_{0} - 1} a_{k}[/mm]
heran.
>
> 3.Frage:
> Wieder zu einem Satz im Skript den ich nicht so ganz
> kapiere:
> [mm]"\summe_{n=1}^{ \infty} a_{n}[/mm] konvergiert [mm]\gdw \forall \varepsilon[/mm]
> > 0
> [mm]\exists n_{0} \in \IN \forall[/mm] n >= [mm]n_{0} \forall[/mm] p
> [mm]\in \IN[/mm] :
> || [mm]\summe_{i=1}^{ p} a_{n+i}[/mm] || < [mm]\varepsilon"[/mm]
>
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] konvergiert
[mm] <==>(s_n) [/mm] konvergiert
[mm] \gdw \forall \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n,m [mm] \ge n_{0} \in \IN [/mm] :
|| [mm] s_n-s_m [/mm] || < [mm] \varepsilon
[/mm]
<==> [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n,m [mm] \ge n_{0} \in \IN [/mm] :
|| [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i- \summe_{i=1}^{m}a_i [/mm] || < [mm] \varepsilon
[/mm]
Das war eben "Cauchyfolge", hast Du's gemerkt?
So, das da oben gilt also für alle n,m [mm] \ge n_0. [/mm] (Sei o.B.d.A. n [mm] \le [/mm] m.) Es gilt also für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] und für alle m [mm] \ge [/mm] n. Diese alle m, die größer sind als n, kann man, wenn man Lust hat ja auch so schreiben m=n+p für alle [mm] p\in \IN. [/mm] Also
<==> [mm] \forall \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists n_{0} \in \IN \foralln, \ge n_{0} \forall [/mm] p [mm] \in \IN:
[/mm]
|| [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i- \summe_{i=1}^{n+p}a_i [/mm] || < [mm] \varepsilon
[/mm]
<==> [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_{0} \in \IN \forall[/mm] [/mm] n, [mm] \ge n_{0} \forall [/mm] p [mm] \in \IN:
[/mm]
|| [mm] \summe_{i=n+1}^{n+p}a_i [/mm] || < [mm] \varepsilon
[/mm]
Jetzt noch eine kleine Indexverschiebung um n und Du erhältst
<==> [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] p [mm] \in \IN:
[/mm]
|| [mm] \summe_{i=1}^{p}a_{n+i} [/mm] || < varepsilon[
> Dann haben wir aufgeschrieben dass das ja genau das
> Cauchy-Kriterium ist....nur wieso? Ich hab mir das
> Cauchy-Kriterium angeschaut und kann
> irgendwie keine große Ähnlichkiet erkennen......
Ich hoffe, Du siehst es jetzt. Cauchy sagt: ab einem gewissen Folgenglied rücken die Folgenglieder beliebig dicht zusammen.
>
> Dann haben wir zur allgemeinen Verwirrung
>nach das
> notiert:
> || [mm]\summe_{i=1}^{ p} a_{n+i}[/mm] || = || [mm]s_{n+p}[/mm] - [mm]s_{n}[/mm] ||
Oh. Ich hab' oben genau das notiert in der Hoffnung der Entwirrung.
> Aber dass ist gerade nicht das Cauchy-Kriterium da p eine
> fixe Variable ist........ich kapiers nicht...
Ah! Ich baue ganz auf meine tolle Erklärung (s.o.) des Sachverhalts.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...danke super erklärt......hab eigentlich alles verstanden.....nur eine Bemerkung in unserem Skript macht mich stutzig und zwar:
Die Definition der Cauchyfolge kann nicht durch
[mm] \forall [/mm] p [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{n+p}| [/mm] = 0
ersetzt werden.
So...und wo ist jetzt der Unterschied zu unserem p bei den Reihen (3.Frage)......
mfg,
Hannes
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> Die Definition der Cauchyfolge kann nicht durch
>
> [mm]\forall[/mm] p [mm]\in \IN[/mm] : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]a_{n}[/mm] -
> [mm]a_{n+p}|[/mm] = 0
>
> ersetzt werden.
>
> So...und wo ist jetzt der Unterschied zu unserem p bei den
> Reihen (3.Frage)......
Hallo,
lies da oben den ersten Satz und betone das Wort "Definition", dann nähern wir uns dem, was diese Bemerkung wohl mitteilen will.
Schau Dir mal im Buch oder Skript die Definition der Cauchyfolge an, die Definition, keine Folgerung oder so.
Merkst Du etwas?
In der Definition für Cauchyfolge kommen "Konvergenz" und Grenzwert gar nicht vor! Das ist ganz wichtig: die Definition für Cauchyfolge ist völlig unabhängig von einem etwa vorhandenen Grenzwert. Die Eigenschaft, daß jede Cauchyfolge konvergiert, ist nicht eine Folge der Cauchyfolgendefinition, sondern das ist eine wichtige Eigenschaft des Raumes [mm] \IR, [/mm] die Vollständigkeit.
Gruß v. Angela
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:51 Do 01.12.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...also stimmt in der Definition der lim nicht oder?
Ich kapier erlich gesagt nicht was du meinst......ich lasse doch bei einer
Cauchy Folge n auch gegen unendlcih gehen oder?
Ich kapier den Unterschied noch immer nicht...
mfg,
Hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Sa 03.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Reaper!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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