alternierende Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie am Beispiel der alternierenden Gruppe (für n=4):
1) Teilt d die Gruppenordnung, so muß im allgemeinen keine Untergruppe vom Index d existieren.
2) Ist U Normalteiler von V und V Normalteiler von G, so muss U nicht normal in G sein. |
hallo. ich finde hier leider keinen ansatz. kann mir jemand helfen???
vielen dank im vorraus....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 So 28.10.2007 | | Autor: | mando |
Es gilt: Alt4 = {id, (1,2)*(3,4), (1,3)*(2,4), (1,4)*(2,3), (1,2,3), (1,3,2), (1,3,4), (1,4,3), (1,2,4), (1,4,2), (2,3,4), (2,4,3)}
Zu 1) Nimm mal an es gäbe eine Untergruppe U vom Index 2 (2 teilt ord(Alt4) = 12). Dann kannst du zeigen, dass U dann normal sein müsste. Das kannst du dann mit der Formel [mm] a\circ(i,j,k)\circ a^{-1} [/mm] = (a(i), a(j), a(k)) zum Widerspruch führen.
Zu 2) Versuch mal zu zeigen, dass V:= {id, (1,2)*(3,4), (1,3)*(2,4), (1,4)*(2,3)} normal ist in Alt4 und U:= {id, (1,2)*(3,4)} normal in V ist, aber nicht in Alt4.
Hoffe das hilft dir schon weiter, sonst frag ruhig nochmal nach:)
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hallo!
erst einmal vielen dank für deine antwort. Leider kann ich mit der Schreibweise (1,2)*(3,4) bzw. (1,2,4) für die einzelnden permutationen nichts anfangen. ich weiß nicht welche permutationen du damit meinst. ich verstehe auch die schreibweise a [mm] \circ [/mm] (i,j,k) [mm] \circ a^{-1} [/mm] leider nicht. könntest du das vielleicht noch einmal erklären?
vielen dank im vorraus....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 So 28.10.2007 | | Autor: | mando |
Das ist die Zykelschreibweise:
Wenn z.b. a = (i,j,k) bedeutet dass, dass a(i) = j, a(j)= k und a(k) = i ist und für alle anderen l gilt a(l) = l.
Das * soll [mm] \circ [/mm] sein und ist einfach die hintereinanderausführung.
Und a [mm] \circ [/mm] (i,j,k) [mm] \circ a^{-1} [/mm] bedeutet, dass zuererst [mm] a^{-1} [/mm] ausgeführt ist, dann (i,j,k) und dann a.
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