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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Do 13.12.2007 | | Autor: | laughy |
| Aufgabe | Aufg.:
E1 ist die Ebene durch die Punkte A(2/4/-1) , B(3/7/-5) und C (-1/9/-10),
E2 ist gegeben durch die Gleichung 2x+y+3z-12=0 ,
E3 verläuft parallel zu E2 und geht durch den Punkte Q (1/1/-1) .
a)Geben Sie jeweils eine Gleichung der Ebene E1 und E3 an.
b)Untersuchen Sie die gegenseitigen Lagen der Ebenen E1 und E2. Geben Sie wenn möglich eine Gleichung der Schnittgeraden h an. Berechnen Sie den Schnittwinkel oder den Abstand von E1 und E2.
c)Welchen Abstand haben die zueinander parallelen Ebenen E2 und E3?
d)Die Schnittpunkte der Ebenen E2 mit den Koordinatenachsen bilden zusammen mit dem Koordinatenursprung die Eckpunkte einer Pyramide. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
e)Die Gerade g1 liegt in der Ebene E1 und ist rechtwinklig zur Geraden h aus Teilaufgabe b). Die Gerade g2 liegt in der Ebene E2 und sei ebenfalls rechtwinklig zur Geraden h. Die Geraden g1 und g2 schneiden sich in einem Punkt mit der x-Koordinate 3. Geben Sie je eine Geradengleichung von g1 und g2 an.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versteh diese Aufgabe überhaupt nicht, weiß nich was und wie ich diese Aufgabe rechnen soll?!Kann mir irgendjemand helfen???
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Hallo!
Gebe erst einmal die Koordinatengleichung von [mm] E_{1}. [/mm] Dazu musst du das zugehörige LGS lösen. Eine Koordinatengleichung von E hat ja die Form [mm] ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}=d. [/mm] Setze jetzt jeweils die Koordinaten der Punkte A, B, C in die Gleichung ein dann erhälst du ein LGS und das löst du das. zu [mm] E_{3}: [/mm] Was heisst denn wenn zwei Ebenen parallel sind? Sie sind genau dann parallel wenn [mm] E_{a} [/mm] und [mm] E_{b} [/mm] keine gemeinsamen Punkte haben. dazu müssen [mm] \vec{u}, \vec{v}, \vec{u^{**}} [/mm] UND [mm] \vec{u}, \vec{v}, \vex{v^{**}} [/mm] linear unabhängig sein. gleichzeitig müssen [mm] \vec{p} [/mm] - [mm] \vec{p^{**}}, \vec{u}, \vec{v} [/mm] linear unabhängig sein. ( [mm] \vec{p} [/mm] ist der stützvektor und [mm] \vec{u}, \vec{v} [/mm] sind die Richtungsvektoren der Ebene [mm] E_{a} [/mm] und [mm] \vec{p^{**}} [/mm] ist der stützvektor und [mm] \vec{u^{**}}, \vec{v^{**}} [/mm] sind die Richtimgsvektoren von Ebene [mm] E_{b}). [/mm] Formal bedeutet das wenn du beide Ebenen gleichsetzt und das LGS keine Lösung hat dann sind die Ebenen parallel.
Nun zur gegenseitigen Lage von ebenen: Parallel hat wir ja gerade. Nun können sich 2 Ebene schneiden genau dann wenn das LGS unendlich viele Lösungen besitzt. Natürlich musst du hier die zu untersuchenen eben gleichsetzten und das entsprechende LGS lösen. Zwei Ebenen können auch identisch sein was da ist ist wohl klar.
So zum Schnittwinkel: Aus deinen Ebenengleichungen nimmst du die Normalenvektoren und berechnest nach der Formel: cos( [mm] \alpha) [/mm] = [mm] \bruch{ | \vec{n_{1}} * \vev{n_{2}} |}{ | \vec{n_{1}} | * | \vec{n_{2}} |}
[/mm]
Zur Abstandsberechnung: Tipp. Hesse´sche Normalenform
Zur Volumenbestimmung: V= [mm] \bruch{1}{6} [/mm] | [mm] \vec{a} \times \vec{b} [/mm] | * [mm] \vec{c}
[/mm]
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 16.12.2007 | | Autor: | laughy |
| Aufgabe | E1 ist die Ebene durch die Punkte A(2/4/-1) , B(3/7/-5) und C (-1/9/-10),
E2 ist gegeben durch die Gleichung 2x+y+3z-12=0 ,
E3 verläuft parallel zu E2 und geht durch den Punkte Q (1/1/-1) .
a)Geben Sie jeweils eine Gleichung der Ebene E1 und E3 an.
b)Untersuchen Sie die gegenseitigen Lagen der Ebenen E1 und E2. Geben Sie wenn möglich eine Gleichung der Schnittgeraden h an. Berechnen Sie den Schnittwinkel oder den Abstand von E1 und E2.
c)Welchen Abstand haben die zueinander parallelen Ebenen E2 und E3?
d)Die Schnittpunkte der Ebenen E2 mit den Koordinatenachsen bilden zusammen mit dem Koordinatenursprung die Eckpunkte einer Pyramide. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
e)Die Gerade g1 liegt in der Ebene E1 und ist rechtwinklig zur Geraden h aus Teilaufgabe b). Die Gerade g2 liegt in der Ebene E2 und sei ebenfalls rechtwinklig zur Geraden h. Die Geraden g1 und g2 schneiden sich in einem Punkt mit der x-Koordinate 3. Geben Sie je eine Geradengleichung von g1 und g2 an. |
ich hab die aufg. durchgerechnet und wollte gerne mal meine lösungen kontrollieren. kann mir jemand die lösungen schicken???
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Hallo!
Zunächst einmal wäre es ein heidenaufwand dir die lösungen zu schicken. Aber du kannst sie ja hier ins internet stellen natürlich mit lösungsweg dann kann man nachvollziehen was du gemacht hast und ob du es auch verstanden hast.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 17.12.2007 | | Autor: | laughy |
| Aufgabe | Aufg.:
E1 ist die Ebene durch die Punkte A(2/4/-1) , B(3/7/-5) und C (-1/9/-10),
E2 ist gegeben durch die Gleichung 2x+y+3z-12=0 ,
E3 verläuft parallel zu E2 und geht durch den Punkte Q (1/1/-1) .
a)Geben Sie jeweils eine Gleichung der Ebene E1 und E3 an.
b)Untersuchen Sie die gegenseitigen Lagen der Ebenen E1 und E2. Geben Sie wenn möglich eine Gleichung der Schnittgeraden h an. Berechnen Sie den Schnittwinkel oder den Abstand von E1 und E2.
c)Welchen Abstand haben die zueinander parallelen Ebenen E2 und E3?
d)Die Schnittpunkte der Ebenen E2 mit den Koordinatenachsen bilden zusammen mit dem Koordinatenursprung die Eckpunkte einer Pyramide. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
e)Die Gerade g1 liegt in der Ebene E1 und ist rechtwinklig zur Geraden h aus Teilaufgabe b). Die Gerade g2 liegt in der Ebene E2 und sei ebenfalls rechtwinklig zur Geraden h. Die Geraden g1 und g2 schneiden sich in einem Punkt mit der x-Koordinate 3. Geben Sie je eine Geradengleichung von g1 und g2 an.
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a) E1: x=(2/4/-1)+r(1/3/-4)+s(-3/5/-9)
E2: 2x+y+3z-12=0
E2: [x-(6/0/0)]o(2/3/5)=0
E3: [x-(1/1/-1)]o(4/6/10)
b) E1: x=(2/4/-1)+r(1/3/-4)+s(-3/5/-9)
E2: x=(0/12/0)+t(1/-2/0)+z(0/-3/1)
2+r-3s= t |*(-3)
4+3r+5s= 12-2t-3z |*4
-1-4r-9s= Z |*3
-2+14s=12-5t-3z
13-7s=48-8t-9z |*2
-2+14s=12-5t-3z
26-14s=96-16t-18z
24=108-21t-21z |+21t |-24
21t=84-21z |:21
t=4-z
x=(0/12/0)+(4-z)*(1/-2/0)+z(0/-3/1)
h=(4/4/0)+a(-1/-1/1)
E1: x=(2/4/-1)+r(1/3/-4)+s(-3/5/-9)
1x+3y-4z=0 |*3
-3x+5y-9z=0
14y-21z=0
14y=21z
y=1,5z
z=2
y=3
x=-1
E1: [x-(2/4/-1)]o(-1/3/2)
E2: [x-(6/0/0)]o(2/3/5)
ax=-1 bx=2
ay=3 by=3
az=2 bz=5
[mm] cos∝=((-1)*2+3*3+2*5)/√([((-1)^2+3^2+2^2 )*(2^2+3^2+5^2)])
[/mm]
cos∝=17/√((14*38))
cos∝=0,73704
∝=42,52°
c) E2: [x-(6/0/0)]o(2/3/5)=0 E2: x=(0/12/0)+t(1/-2/0)+s(0/-3/1)
E3: [x-(1/1/-1)]o(2/3/5)=0 E3: x=(0/0/0)+u(- 3/2/1/0)+v(- 5/2/0/1)
d=|(t-u)*n|
d=|[(1/-2/0)- (- 3/2/1/0)]o(2/3/5)
d=(5/-9/0)=-4
d) E2: 2x+y+3z=12
X(1/6/0/0) ; Y(0/12/0) ; Z(0/0/1/4) ; O(0/0/0)
A=1/2 (OX*OY)
A=1/2 [(1/6/0/0)*(0/12/0)]
A=1LE
V= 1/3*1LE*1/4LE
V=1/12LE
e) Muss ich nicht machen
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> Aufg.:
> E1 ist die Ebene durch die Punkte A(2/4/-1) , B(3/7/-5) und
> C (-1/9/-10),
> E2 ist gegeben durch die Gleichung 2x+y+3z-12=0 ,
> E3 verläuft parallel zu E2 und geht durch den Punkte Q
> (1/1/-1) .
>
> a)Geben Sie jeweils eine Gleichung der Ebene E1 und E3 an.
> a) E1: x=(2/4/-1)+r(1/3/-4)+s(-3/5/-9)
Hallo,
das ist richtig.
> E2: 2x+y+3z-12=0
> E2: [x-(6/0/0)]o(2/3/5)=0
Das ist verkehrt,
und entsprechend stimmt dann die [mm] E_3 [/mm] auch nicht.
(Ich komme leider nicht dahinter, was Du gerechnet bzw. Dir gedacht hast.)
> E3: [x-(1/1/-1)]o(4/6/10)=0
>
> b)Untersuchen Sie die gegenseitigen Lagen der Ebenen E1 und E2.
> b) E1: x=(2/4/-1)+r(1/3/-4)+s(-3/5/-9)
> E2: x=(0/12/0)+t(1/-2/0)+z(0/-3/1)
Die Parametergleichung für [mm] E_2 [/mm] stimmt,
und die Art und Weise, in welcher Du als nächstes die Schnittgerade bestimmst, ist richtig.
Ob sich irgendwelche Rechenfehler eingeschlichen haben, prüfe ich nicht.
Anschließend hast Du den richtigen Plan, um den Schnittwinkel der Ebenen zu bestimmen, nämlich mit dem Skalarprodukt der Normalen.
Die Rechnung dürfte nicht stimmen aufgrund der verkehrten Normalenform v. [mm] E_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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>
> 2+r-3s= t |*(-3)
> 4+3r+5s= 12-2t-3z |*4
> -1-4r-9s= Z |*3
>
> -2+14s=12-5t-3z
> 13-7s=48-8t-9z |*2
>
> -2+14s=12-5t-3z
> 26-14s=96-16t-18z
>
> 24=108-21t-21z |+21t |-24
> 21t=84-21z |:21
>
> t=4-z
>
> x=(0/12/0)+(4-z)*(1/-2/0)+z(0/-3/1)
> h=(4/4/0)+a(-1/-1/1)
>
> E1: x=(2/4/-1)+r(1/3/-4)+s(-3/5/-9)
> 1x+3y-4z=0 |*3
> -3x+5y-9z=0
> 14y-21z=0
>
> 14y=21z
> y=1,5z
>
> z=2
> y=3
> x=-1
>
> E1: [x-(2/4/-1)]o(-1/3/2)
> E2: [x-(6/0/0)]o(2/3/5)
> ax=-1 bx=2
> ay=3 by=3
> az=2 bz=5
>
> [mm]cos∝=((-1)*2+3*3+2*5)/√([((-1)^2+3^2+2^2 )*(2^2+3^2+5^2)])[/mm]
>
> cos∝=17/√((14*38))
> cos∝=0,73704
> ∝=42,52°
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Di 18.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Der Normalenvektoren einer Koordinatengleichung entspricht genau den Koeffizienten. D.h. bei 2x+y+3z=12 ist [mm] \vec{n}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}.
[/mm]
h ist richtig, da die Parametergl. von [mm] E_2 [/mm] stimmt.
Die Parametergleichung von [mm] E_3 [/mm] hat ja 4 Koordinaten ???
Ist daher auch nicht richtig.
Für die Abstandberechnung von [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_3, [/mm] muss du für t und u jeweils Ortvektoren einsetzen. Außerdem muss der Normalenvektor dafür noch normiert werden.
Die Ansätze sind sonst alle richtig.
Ciao.
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