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| Aufgabe | f(x)= [mm] \bruch{k}{x^2+k}
[/mm]
ein Ing. Büro erhält den Auftrag eine Straßenbrücke mit den zugeörigen Rampen zu entwerfen,deren Form durch f(x)= beschrieben wird und deren maximale Steigung höchstens 12,5% betragen soll.
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a)Erläutern Sie die Lösungsstrategie,wie man sich die max. Steigung bestimmen lässt...
Guten Tag erstmal 
Ich habe mir das so gedacht,dass ich auf jeden Fall die erste Ableitung brauche,die da wäre f'(x)= [mm] \bruch{-2x}{(x^2+k)^2} [/mm] und die Hochpunkte (0/1).
Die 12,5 % müsste ich doch jetzt gleich der 1. Ableitung setzen oder nicht???
Ist diese Überlegung richtig oder wie bekommt man die maximale Steigung heraus??
Wie begründe ich außerdem, dass [mm] f(x)=\bruch{12}{x^2+12} [/mm] für dieses Modell untauglich ist???
Bitte um eine präzise Antwort.. Vielen Dank im Vorraus
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Hallo Teenie88w,
> f(x)= [mm]\bruch{k}{x^2+k}[/mm]
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> ein Ing. Büro erhält den Auftrag eine Straßenbrücke mit den
> zugeörigen Rampen zu entwerfen,deren Form durch f(x)=
> beschrieben wird und deren maximale Steigung höchstens
> 12,5% betragen soll.
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> a)Erläutern Sie die Lösungsstrategie,wie man sich die max.
> Steigung bestimmen lässt...
>
> Guten Tag erstmal
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> Ich habe mir das so gedacht,dass ich auf jeden Fall die
> erste Ableitung brauche,die da wäre f'(x)=
> [mm]\bruch{-2x}{(x^2+k)^2}[/mm] und die Hochpunkte (0/1).
>
> Die 12,5 % müsste ich doch jetzt gleich der 1. Ableitung
> setzen oder nicht???
>
>
> Ist diese Überlegung richtig oder wie bekommt man die
> maximale Steigung heraus??
Nein. Von der Steigung [mm]f'\left(x\right)[/mm] ist das Maximum zu bestimmen.
Will heissen, Du benötigtst noch [mm]f''\left(x\right)[/mm] und [mm]f'''\left(x\right)[/mm].
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> Wie begründe ich außerdem, dass [mm]f(x)=\bruch{12}{x^2+12}[/mm]
> für dieses Modell untauglich ist???
>
[mm]f(x)=\bruch{12}{x^2+12}[/mm] ist untauglich, weil die maximale Steigung größer als 12,5 % ist.
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> Bitte um eine präzise Antwort.. Vielen Dank im Vorraus
>
Gruß
MathePower
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ok... ich habe heraus für f'' (x)= [mm] \bruch{(2k(k-3x^2)}{(x^2+k)^3}
[/mm]
f''' (x) rechne ich gleich aus.....
was mache ich denn nun anschließend???
was muss ich gleich 12,5% setzen???
Liebe Grüße
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Hallo Teenie88w,
> ok... ich habe heraus für f'' (x)=
> [mm]\bruch{(2k(k-3x^2)}{(x^2+k)^3}[/mm]
Stimmt, bis aufs Vorzeichen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> f''' (x) rechne ich gleich aus.....
Mit [mm]f'''\left(x\right)[/mm] bestimmst die Art des Extremums aus.
>
> was mache ich denn nun anschließend???
>
> was muss ich gleich 12,5% setzen???
Zuerst setzt Du mal [mm]f''\left(x\right)=0[/mm]
Die x-Werte, die Du da herausbekommst, setzt in [mm]f'\left(x\right)[/mm] ein und vergleichst das mit der maximalen Steigung von 12,5 %.
Aus dieser Gleichung bekommst dann das k heraus.
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> Liebe Grüße
>
>
>
Gruß
MathePower
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Ok, weiss ich Bescheid...
Aber rechnet man nicht mit der 3. Ableitung, die Art der WENDESTELLE aus und nicht des Extrema????
Bei dem Zweiten verstehe ich nur deine Begründung nicht,du hattest ja gesagt,dass daS Modell untauglich ist,weil die max Steigung größer als 12, 5% ist..Laut Aufgabe darf sie aber HÖCHSTENS 12,5 % betragen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Zunächst mal bestimmt man "normalerweise" mit f'''(x) ob es eine Wendestelle ist oder nicht.
Hier musst du ein wenig umdenken:
alles quasi "eins zurück".
Du willst das Extremum der 1. Ableitung bestimmen; also die maximale bzw. minimale Steigung.
Und um das Extremum von einer Funktion g(x) zu bestimmen, müssen wir halt die Ableitung von dieser Funktion g(x) bestimmen; also g'(x) und von dieser dann die Nullstellen bestimmen.
Nun müssen wir, um die Art des Extremums zu bestimmen, g''(x) bestimmen und die Nullstellen von g'(x) darein einsetzen.
Wenn du dich nun noch so hereindenkst, dass g(x) bei deinem konkreten Fall f'(x) ist, ist es dir hoffentlich ein wenig klarer.
Der Beitrag, dass die Steigung bei der Funktion höher als 12,5% wäre war darauf bezogen, dass du da bereits Werte eingesetzt hattest.
Du musst ja letztendlich k so bestimmen, dass die Steigung maximal 12,5% ist; vllt. hast du dich ja auch einfach nur verschrieben, aber falls du hier so verfährst wie oben beschrieben, würdest du feststellen, dass die maximale Steigung > 12,5%.
Wenn irgendwas unklar ist einfach nochmal nachfragen ;9
Ciao, Lg
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Dankeschön..
ich habe nun die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt und für k herausbekommen....
[mm] X=\wurzel{k/3} [/mm] und X= - [mm] \wurzel{k/3}
[/mm]
2k= 0 ist ja eine falsche Aussage
nun setze ich das in die 1. Ableitung ( f'(x)= [mm] \bruch{-2x}{(x^2+k)^2}ein
[/mm]
[mm] \bruch{(2*\wurzel{k/3}}{(k/3+k)^2}
[/mm]
nun muss ich das ja nach k auflösen?? zeigt mir daSS dann die steigung an?? wie gehts weiter??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Stell doch jetzt mal eine Ungleichung auf, schliesslich willst du ja die Frage beantworten:
Wie muss k gewählt werden, damit [mm] f'(x)\le0,125?
[/mm]
Du hast ja gerade schon bestimmt, wo f' die größten Werte annimmt, also musst du die Ungleichung nur noch nach k auflösen.
Grüße
Oli
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tut mir leid,das verstehe ich nicht ganz.. :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Schreib am besten, was konkret du nicht verstehst, sonst können wir dir nicht helfen...
Die Aufgabenstellung sagt dir doch: Finde ein k, so dass die Steigung 12,5% nicht übersteigt.
Mathematisch: [mm] f'(x)\le0,125 [/mm] - Soweit klar?
Da du aber jetzt noch zwei Variablen hättest (nämlich das x und das k), hast du ja bereits das x berechnet, für das die Steigung maximal ist. Wenn wir dieses x jetzt also mit dem berechneten Wert austauschen, wissen wir, dass die Steigung nirgendwo mehr größer ist - Wir können also jetzt bedenkenlos nach k auflösen, um zu schauen, für welche k die Ungleichung noch erfüllt ist. Mach das doch mal!
Grüße
Oli
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$ [mm] \bruch{(2\cdot{}\wurzel{k/3}}{(k/3+k)^2} [/mm] $ dies setze ich gleich null und multipliziere dann den nenner...
dann bleibt ja 2x [mm] *\wurzel{k/3} [/mm] übrig wenn ich das hoch2 kommt dann ja 4* [mm] \bruch{k}{3} [/mm] heraus
als Nächstes * 3 dann müsste 4* k herauskommen....und geteilt durch vier ergibt k=0
kann das sein???
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Ich glaub du hast da was an Termumformung noch nicht ganz verstanden ;)
Du darfst doch nicht einen beliebigen Term nehmen und daran lustig mal nehmen und quadrieren! Damit veränderst du doch den ganzen Term... So kann ich ja auch bei 72x²-5 einfach mal -(72x²-5) machen und erhalte 0... Aber was bringt mir das?
Stelle doch erstmal die Ungleichung auf, die ich genannt habe und dann versuche mal, k freizustellen.
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ich kann mit dem begriff ansich nichts anfangen und wäre dankbar wenn du es mir mal an dem beispiel zeigst....
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Mit welchem Begriff kannst du nichts anfangen? Bringt ja nichts, wenn ich jetzt alles vorrechne und du es nicht verstehst. Schreib doch mal konkret, was du nicht verstehst, habe doch jetzt schon ausführlich erklärt was zu tun ist.
Du hast f'(x) gegeben, du hast den passenden x-Wert gegeben und du hast die Gleichung [mm] f'(x)\le0,125 [/mm] gegeben. Dann setz doch mal den Wert in f'(x) ein und schreib die Gleichung schonmal auf.
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welchen wert soll ich in f'(x) einsetzen???
[mm] \wurzel{k/3} [/mm] oder was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Genau! Aber das war doch um 18.51 schon alles geklärt eigentlich. Dann mach das mal und löse dann nach k auf :)
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ja das einsetzen geht ja..ich kann nur das auflösen nicht,wegen der wurzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Schreib doch erstmal, was du überhaupt für f' raushast. Dann setz das doch mal kleiner gleich 0,125 und schau, wie weit du kommst. Schreib die Zwischenschritte so weit auf, wie du es schaffst. Dann sag wo dein Problem ist und wo du nicht weiterkommst und wir helfen dir gerne weiter!
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