analytische geometrie : Berechnung einer Pyramide mit Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
durchgenommen wurden in unserem mathegrundkurs die themen Vektoren, Geraden, Ebenen, Längen, Abstände und Winkel.
nun habe ich ein problem mit der aufgabe, die klausurrelevant ist und die ich bis morgen früh also besser verstehen sollte.
ich hoffe, dass mein thema hier nicht falsch ist.
wir haben 3 Punkte gegeben
[mm] \ A (2|0|0);
B (3|4|-2);
C (0|0|0) [/mm]
Sie ergeben das Grunddreieck. Der unbekannte Punkt S liegt senkrecht über Punkt B, die Strecke von S zu B heißt h, die Länge von h
ist [mm] \left| h \right| = 2 [/mm]
Es sollen die Koordinaten von S und das Volumen der Pyramide errechnet werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Lotte!
Zur Klarstellung: Handelt es sich um eine Pyramide mit dreiseitiger Grundfläche und den Punkten [mm]A[/mm], [mm]B[/mm] und [mm]C[/mm] als Eckpunkten der Grundfläche oder vielmehr um eine quadratische Grundfläche, wobei zwei der Eckpunkte [mm]A[/mm] und [mm]C[/mm] sind sowie [mm]B[/mm] die Projektion des Punkte [mm]P[/mm] auf die quadratische Grundfläche ist? Nach deiner Beschreibung eher letzteres, aber dann verwirrt mich der Begriff "Grunddreieck".
Wenn du das geklärt hast, geht es weiter.
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
> Hallo Lotte!
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> Zur Klarstellung: Handelt es sich um eine Pyramide mit
> dreiseitiger Grundfläche und den Punkten [mm]A[/mm], [mm]B[/mm] und [mm]C[/mm] als
> Eckpunkten der Grundfläche
genau das, die grundfläche ist ein dreieck und die eckpunkte der grundfläche sind [mm]A[/mm], [mm]B[/mm] und [mm]C[/mm] .
Der Punkt [mm]S[/mm] ( ich glaube du hast in mit P benannt ??? )
bildet die Spitze der Pyramide und liegt senkrecht über [mm]B[/mm] .
alleine der fakt, dass mich jemand versucht zu retten lässt mich jetzt schon mal im dreieck springen = )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Lotto,
Mist, ich habe das zu spät gesehen. Dann ist meine Antwort falsch. Hmmh, dann verstehe ich es aber nicht. Wie kann denn die Spitze der Pyramide genau senkrecht über einem der Eckpunkte liegen? Ist es eine schiefe Pyramide? Ja klar, das wird es wohl sein... Hast du eine Skizze, die du vielleicht mal einfügen könntest?
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
> Hallo Lotto,
>
> Mist, ich habe das zu spät gesehen. Dann ist meine Antwort
> falsch. Hmmh, dann verstehe ich es aber nicht. Wie kann
> denn die Spitze der Pyramide genau senkrecht über einem der
> Eckpunkte liegen? Ist es eine schiefe Pyramide? Ja klar,
> das wird es wohl sein... Hast du eine Skizze, die du
> vielleicht mal einfügen könntest?
>
> Liebe Grüße
> Stefan
>
keine ahnung ob das schiefe pyramide heißt. die skizze gabs an der tafel, und gibts so ungefähr in meinem heft, hab aber keinen scanner. ansich sieht die pyramide aus wie ein stück Käse = )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Lotte,
ich gehe mal davon aus, dass du im Moment auch nicht posten kannst, weil der server überlaufen ist. Da es bei mir jetzt gerade ausnahmsweise mal geklappt hat, will ich mal schnell was schreiben, bevor er wieder abstürzt. :-(
Also: , nehmen wir mal an, es ist eine quadratische Grundfläche.
Die Grundfläche liegt ja in einer Ebene, die durch die drei Punkt [mm]A[/mm], [mm]B[/mm] und [mm]C[/mm] eindeutig bestimmt ist.
Strategie:
1) Stelle mit Hilfe der drei gegebenen Punkte die Ebenengleichung auf.
2) Bestimme einen Normaleneinheitsvektor [mm]\vec{n_0}[/mm] auf die Ebene, der "in die richtige Richtung zeigt", nämlich in die von [mm]S[/mm].
3) Dann ist [mm]\vec{0S} = \vec{0B} + 2\cdot \vec{n_0}[/mm].
4) Berechne [mm]h=|\vec{BS}|[/mm] und damit dann das Volumen der Pyramide.
Versuche das Programm durchzuziehen und melde dich bitte wieder bei Schwierigkeiten oder mit Lösungsversuchen.
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Lotte,
okay, es war dann wohl falsch von mir, aber die Strategie bleibt natürlich die gleiche! (Nur die Formel für das Volumen ändert sich.)
Melde dich mal mit einem Lösungsversuch oder weiteren Fragen...
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
bei mir funzt es jetzt wieder mit dem server, hoffe bei dir auch. meld dich mal bitte, falls es klappt, damit ich weiß, ob ich noch chancen auf eine antwort zur richtigen fragestellung bekomme ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
jaja, es klappt wieder. Gehe mal alle Antworten von mir durch, ich denke ich habe genug Tipps gegeben. Wenn du nicht weiterkommst, kannst du dich ja melden. Oder mit ersten Zwischenergebnissen...
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
mhhh die ganze sache mit den normalenvektoren hab ich noch nie verstanden, im buch ist sie ( hab mal gerade nachgeschaut ) auch nicht wirklich toll erklärt. was ist ein normalenvektor ? wozu brauch ich ihn ? wie verwende ich ihn ? und was meinst du mit dem dritten schritt ?
hoffe du kannst mir diese fragen noch klären, dann kann ich anfangen die aufgabe zu lösen. das wär echt super !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Du kannst die Aufgabe ja trotzdem schon mal anfangen, indem du nämlich die Parameterform der durch die drei Punkte eindeutig bestimmten Ebene aufschreibst. Sobald du das gemacht hast, geht es dann weiter. Dann kommt die Sache mit dem Normalenvektor.
Bis später!
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
hab jetzt zwar die ebenengleichung ausgerechnet, komm aber mit eurer schreibweise hier net zurecht, wie kann ich hier vektorenschreibweise machen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo lotte,
> hab jetzt zwar die ebenengleichung ausgerechnet, komm aber
> mit eurer schreibweise hier net zurecht, wie kann ich hier
> vektorenschreibweise machen ?
das ist auch etwas komplizierter, du mußt schreiben:
[mm] [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix} [/mm] [/mm]
ergibt:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix} [/mm]
Die Zahlen 1, 2, 3 sind dann natürlich durch deine Werte zu ersetzen.
Viel Spaß noch im MatheRaum,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Lotte!
Schau dir das mal an und experimentiere dmit bitte im Testforum rum, damit du es beim nächsten Mal kannst:
https://matheraum.de/mm
In der Zwischenzeit werde ich dir einen Vorschlag für eine Ebenengleichung machen und dir erklären, wie man den Normalenvektor bestimmt. (Kurze Frage: Kennst du das Vektorprodukt? Auch Kreuzprodukt genannt? Mit diesem kann man aus zwei gegebenen Vektoren im Raum einen weiteren konstruieren, der auf beiden senkrecht steht.)
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
> Kurze Frage: Kennst du das
> Vektorprodukt? Auch Kreuzprodukt genannt? Mit diesem kann
> man aus zwei gegebenen Vektoren im Raum einen weiteren
> konstruieren, der auf beiden senkrecht steht.
meinst du eine orthogonale von zwei vektoren
also c ist orthogonal zu a, b
=> c * a = 0 und c * b = 0 ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Lotte,
> > Kurze Frage: Kennst du das
> > Vektorprodukt? Auch Kreuzprodukt genannt? Mit diesem kann
>
> > man aus zwei gegebenen Vektoren im Raum einen weiteren
>
> > konstruieren, der auf beiden senkrecht steht.
>
> meinst du eine orthogonale von zwei vektoren
> also c ist orthogonal zu a, b
> => c * a = 0 und c * b = 0 ?
Das ist das Skalarprodukt, mit dem Vektorprodukt (das ihr scheinbar noch nicht hattet) kann man direkt den Vektor c bestimmen, so dass deine beiden Gleichungen erfüllt sind:
$c = a [mm] \times [/mm] b$
Aber darauf sollten wir dann hier nicht näher eingehen, würde ich sagen, weil es nur verwirrt, wenn es noch nicht Thema bei Euch war.
Alles Gute,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
also meine ebenengleichung bei
E: [mm]\vec x[/mm] = [mm]\vec {0C}[/mm] + r * [mm]\vec {CA}[/mm] + s * [mm]\vec {CB}[/mm]
währe
E: [mm]\vec x[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\2 \end{pmatrix} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Lotte!
> also meine ebenengleichung bei
>
> E: [mm]\vec x[/mm] = [mm]\vec {0C}[/mm] + r * [mm]\vec {CA}[/mm] + s * [mm]\vec {CB}[/mm]
>
>
> währe
>
> E: [mm]\vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}[/mm] + r *
> [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}[/mm] + s *
> [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\2 \end{pmatrix}[/mm]
Also, du hast hier [mm]\vec{AC}[/mm] und [mm]\vec{BC}[/mm] ausgerechnet (und nicht etwa [mm]\vec{CA}[/mm] und [mm]\vec{CB}[/mm]). Dennoch wäre auch diese Ebenengleichung richtig, weil statt einem festen Richtungsvektor auch jedes von 0 verschiedene Vielfache (also auch der Gegenvektor) als Richtungsvektor verwendet werden kann.
Liebe Grüße
julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Lotte!
Fangen wir also mal mit der Ebenengleichung an:
[mm]E: \vec{x} = \vec{0C} + \lambda\, \vec{CB} + \mu \vec{CA}
= \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + \lambda\, \begin{pmatrix}3\\ 4\\ -2\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}2\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm].
Nun suchen wir einen Normalenvektor der Ebene, also einen Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht.
Gesucht ist also ein Vektor [mm]\vec{n}=\begin{pmatrix}n_1\\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}[/mm], der die folgenden Eigenschaften besitzt:
[mm]\vec{n} \* \vec{CB} = 0[/mm],
also:
[mm]3n_1 + 4n_2 - 2n_3=0[/mm]
und
[mm]\vec{n} \* \vec{CA}=0[/mm],
also
[mm]2n_1=0[/mm].
Aus der zweiten Gleichung folgt:
[mm]n_1=0[/mm]
und die erste Gleichung reduziert sich zu
[mm]4n_2 - 2n_3=0[/mm].
Du hast eine Gleichung mit zwei Unbekannten, kannst also eine von beiden, etwa[mm]n_2[/mm], frei wählen (dabei musst du allerdings [mm]n_2\ne 0[/mm] beachten, sonst wäre [mm]\vec{n}=0[/mm], was nicht erlaubt ist). Wählen wir etwa [mm]n_2=1[/mm], dann folgt: [mm]n_3=2[/mm] und wir haben den Normalenvekor:
[mm]\vec{n} = \begin{pmatrix}0 \\1 \\ 2\end{pmatrix}[/mm].
Eventuell müsste man jetzt noch schauen, ob der Normalenvektor in die richtige Richtung zeigt. Da wir hier aber nicht wissen, wo [mm]P[/mm] liegt (ich jedenfalls nicht), lassen wir es mal so. Für die Länge der Höhe und das Volumen ist es eh egal.
Diesen Normalenvektor müssen wir noch normieren, damit er die Länge 1 hat. Kannst du das? Versuche es mal. Dann erhältst du einen Normaleneinheitsvektor [mm]\vec{n_0}[/mm].
(Okay, hier: [mm]\vec{n_0} = \frac{1}{|\vec{n}|} \vec{n} = \frac{1}{\sqrt{n_1^2+ n_2^2 + n_3^2}} \vec{n}[/mm].)
Rechne das bitte aus.
So, dann ist also (wie gesagt):
[mm]\vec{0S} = \vec{0B} + 2\vec{n_0}[/mm].
Erklärung: Wie kommt man zum Punkt [mm]S[/mm]? Man geht erst zum Punkt [mm]B[/mm] und dann zwei Einheiten senkrecht nach oben. Für dieses "senkrecht nach oben gehen" haben wir den Normalenvektor gebraucht, denn dieser steht senkrecht auf der Ebene. Wir mussten ihn normieren, damit wir genau wissen, dass [mm]2\vec{n_0}[/mm] auch tatsächlich die Länge [mm]2[/mm] hat.
Versuche diese beiden Schritte mal selber zu machen (sonst habe ich dir ja die komplette Aufgabe vorgerechnet).
Bei Schwierigkeiten kannst du dich ja wieder melden (oder mit Ergebnissen).
Liebe Grüße
julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
soweit so schön, die schritte habe ich verstanden. was bringt mir das genze auf dem weg zum volumen der pyramide und zu den koordinaten von P ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Lotte,
dann teile uns deine Ergebnisse mal mit.
Jetzt hast du ja [mm]\vec{0S}[/mm], also die Koordinaten von [mm]S[/mm].
Das solltest du ja als erstes tun. Um den Rest kümmern wir uns dann später.
Ich bin gespannt auf deine Ergebnisse...
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
>
> Diesen Normalenvektor müssen wir noch normieren, damit er
> die Länge 1 hat. Kannst du das? Versuche es mal. Dann
> erhältst du einen Normaleneinheitsvektor [mm]\vec{n_0}[/mm].
>
> (Okay, hier: [mm]\vec{n_0} = \frac{1}{|\vec{n}|} \vec{n} = \frac{1}{\sqrt{n_1^2+ n_2^2 + n_3^2}} \vec{n}[/mm].)
>
>
> Rechne das bitte aus.
>
[mm]\vec{n_0} = \frac{1}{\wurzel{5}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\2 \end{pmatrix}[/mm]
stimmt dat soweit ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und wie lautet demnach [mm]S[/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
das ist noch so die frage.
[mm]\vec {0P}[/mm] =
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\-2 \end{pmatrix}[/mm] + 2 * [ [mm] \frac{1}{\wurzel{5}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\2 \end{pmatrix}[/mm] ]
aber was bringt mir das ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> das ist noch so die frage.
>
> [mm]\vec {0P}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\-2 \end{pmatrix}[/mm] + 2 * [
> [mm]\frac{1}{\wurzel{5}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\2 \end{pmatrix}[/mm]
> ]
Der Punkt heißt [mm]\red{S}[/mm], aber das war mein Fehler. Ich hatte ihn vorhin falsch bezeichnet.
Okay, aber das könnte man noch schöner in einen Vektor schreiben.
> aber was bringt mir das ?
Ist das eine ernst gemeinte Frage? Die Aufgabe hieß doch:
Es sollen die Koordinaten von S [...] errechnet werden.
Und genau dss haben wir gemacht. (?) Vorausgesetzt, wir haben [mm]S[/mm] auf die richtige Seite gelegt, aber das schien ja nicht eindeutig zu sein.
So, jetzt kommen wir mal zu der Grundseite, also dem Flächeninhalt des Dreiecks. Hast du Vorschläge?
Viele Grüße
julius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
komm dir nicht verarscht vor julius, thats my problem, ich weiß net, wie ich den term
[mm]\vec {0P}[/mm] =
[mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\-2 \end{pmatrix}[/mm] + 2 * [ [mm]\frac{1}{\wurzel{5}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\2 \end{pmatrix}[/mm] ]
in einen vektor bringen soll = (
> So, jetzt kommen wir mal zu der Grundseite, also dem
> Flächeninhalt des Dreiecks. Hast du Vorschläge ?
Flächeninhalt Dreieck ist doch Grundseite * Höhe * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ,ne ? wo bekomm ich denn die höhe meines dreiecks her ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Viel ist da gar nicht zu tun, einfach:
[mm] \vec{0P} = \begin{pmatrix}3 \\ 4 + \frac{2}{\sqrt{5}} \\ - 2 + \frac{4}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}[/mm],
also:
[mm]P(3/4 + \frac{2}{\sqrt{5}}/- 2 + \frac{4}{\sqrt{5}})[/mm].
Gut, damit wäre die erste Teilaufgabe erledigt.
> Flächeninhalt Dreieck ist doch Grundseite * Höhe *
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ,ne ? wo bekomm ich denn die höhe meines
> dreiecks her ?
Ja, das ist das Problem, die müssen wir noch berechnen.
Eine der Seiten, egal welche können wir als Grundseite nehmen. Nehmen wir doch mal die Seite [mm]AB[/mm]. Jetzt bilden wir von [mm]C[/mm] aus die Höhe auf die Seite [mm]AB[/mm]. Es gibt irgendwo einen Punkt, wo die Höhe die Seite [mm]AB[/mm] schneidet, den sogenannten Höhenfußpunkt, nennen wir ihn mal [mm]M[/mm].
Nun müssen zwei Bedingungen gelten:
1) [mm]M[/mm] liegt auf der Geraden [mm]AB[/mm], d.h. es gibt ein [mm]\lambda[/mm] mit
(0)[mm]\vec{0M} = \vec{0A} + \lambda \, \vec{AB}[/mm].
2) Der Vektor [mm]\vec{CM}[/mm] steht senkrecht auf dem Vektor [mm]\vec{AB}[/mm], d.h. es gilt:
(1) [mm]\vec{CM} \* \vec{AB}=0[/mm].
Nun gilt ja:
(2) [mm]\vec{CM} = \vec{0M} - \vec{0C} = \vec{0A} + \lambda \, \vec{AB}[/mm].
Setze nun (2) in (1) ein. Damit kannst du [mm]\lambda[/mm] berechnen und damit dann [mm]CM[/mm]. Für die Höhe [mm]h_1[/mm] des Dreiecks gilt dann [mm]h_1 = |\vec{CM}|[/mm].
Versuche es bitte mal.
Viele Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
julius, du bist ein schatz !
den ersten teil der aufgabe, hatte ich mir im unterricht ins heft gekritzelt ohne irgendwas zu raffen, hab das eben gefunden und verglichen ud siehe da, es stimmt ! den zweiten teil hatten wir auch länger im unterricht besprochen, den hatte ich auch nicht ganz verstanden, aber jetzt setz ich mich mal da ran, denn mit deinem weg versteh ich das bestimmt. ausserdem heißt du wie mein bruder, was kann da noch schief gehen ? = ) bald wieder da mit ergebnissen,
liebe grüße, lotte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
so. verstanden isses. in mathe bin ich blond, ich hasse klammern. deswegen muss ich noch mal nachharken.
habe jetzt versucht
(2) [mm]\vec{CM} = \vec{0M} - \vec{0C} = \vec{0A} + \lambda \, \vec{AB}[/mm]
in (1) [mm]\vec{CM} \* \vec{AB}=0[/mm]
einzusetzen.
das sieht bei mir dann so aus:
( [mm]\vec{0A} + r * \vec{AB}[/mm] ) * [mm]\vec{AB} = 0[/mm]
und das wird dann wiederrum zu:
[mm]\vec{0A} * \vec{AB} + r * \vec{AB} * \vec{AB} = 0[/mm]
kann ich da noch was vereinfachen, oder soll ich da jetzt die zahlen einsetzen und ausrechnen ? wie sind die gesetze noch, wenn ich vektoren multipliziere ?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
arx, da taucht doch schon wieder ne frage auf. also ich war gerade bei
[mm]\vec{0A} * \vec{AB} + r * \vec{AB} * \vec{AB} = 0[/mm]
und setze da jetzt meine zahlen ein.
bin jetzt im endeffekt bei r = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}[/mm]
gelandet.
damit komm ich zur Geradengleichung für die Strecke [mm] \vec{CM} [/mm]
E: [mm]\vec x[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \vec{u} [/mm]
wie komm ich denn jetzt auf den vektor u ? dazu brauch ich doch m, oder nicht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Marc |
[Korrekturen rot gekennzeichnet. Marc, 2:50, 16.3.2004]
Hallo lotte,
> arx, da taucht doch schon wieder ne frage auf. also ich war
> gerade bei
> [mm]\vec{0A} * \vec{AB} + r * \vec{AB} * \vec{AB} = 0[/mm]
> und setze da jetzt meine zahlen ein.
> bin jetzt im endeffekt bei r = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}[/mm]
da hast du dich verrechnet bzw. ganz vertan. $r$ ist ein Skalar, eine (einzelne) Zahl, ein Parameter, kein Vektor. Übrigens ist die ganze Gleichung keine Vektorgleichung.
Gegeben war: [mm] A (2|0|0);
B (3|4|-2);
C (0|0|0) [/mm]
[mm] $\Rightarrow \vec{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$
[/mm]
julius' Gleichung von oben (die ich jetzt nicht nachgerechnet habe, nur überflogen) lautet dann mit den eingesetzten Vektoren:
[mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\* \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \red*\black{} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \*
\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = 0[/mm]
Die Multiplikationspunkte [mm] $\*$ [/mm] sind das Skalarprodukt, ich weiß gar nicht, wie du die Vektoren multipliziert hast, ich ahne aber fürchterliches 
Ich rechne mal weiter:
[mm]\gdw (2+0+0) + r *(1+16+4) = 0[/mm]
[mm]\gdw 2 + r *21 = 0[/mm]
[mm]\gdw r = \red-\black{} \bruch{2}{21}[/mm]
Mit diesem $r$ (was bei julius [mm] $\lambda$ [/mm] war) kannst du nun $M$ berechnen.
Viel Erfolg und melde dich bei Problemen bitte wieder,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
deine schlechten vorahnungen waren berechtigt mark, denn neben normalvektoren, waren für mich bishaute genauso das skalarprodukt ein misterium. jetzt wo ich das mit den normalvektoren verstanden habe, kannst du mir vielleicht das sagenumwobenen skalarprodukt näher bringen und mir verraten, wie ich damit M berechnen kann ?
das wäre toll, wenn ich das bis morgen noch raffen würde !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Marc |
[Korrekturen rot gekennzeichnet. Marc, 2:50, 16.3.2004]
Hallo lotte,
> deine schlechten vorahnungen waren berechtigt mark, denn
> neben normalvektoren, waren für mich bishaute genauso das
> skalarprodukt ein misterium. jetzt wo ich das mit den
> normalvektoren verstanden habe, kannst du mir vielleicht
> das sagenumwobenen skalarprodukt näher bringen und mir
> verraten, wie ich damit M berechnen kann ?
ich dachte eigentlich, das Skalarprodukt würdest du kennen und hattest es nur nicht am [mm] $\*$-Zeichen [/mm] erkannt.
In diesem Beitrag hattest du es jedenfalls ja schon "benutzt" bzw. angegeben. Das Multiplikationszeichen dort ist auch das Skalarprodukt.
Hier aber nochmal eine Definition:
Zwei Vektoren [mm] $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ [/mm] werden folgendermaßen skalarmultipliziert:
[mm] $\vec{a}\*\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\*\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=a_1*b_1+a_2*b_2+a_3*b_3$
[/mm]
In Worten: Das Skalarprodukt ist die Summe der Produkte der Komponenten.
Das Ergebnis dieser Multiplikation ist also eine Zahl (="Skalar").
Eine schöne und sehr wichtige Eigenschaft des Skalarproduktes ist diese:
[mm] $\vec{a}\perp\vec{b}\;\; \gdw\;\; \vec{a}\*\vec{b}=0$
[/mm]
Auch noch mal in Worten:
Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht/orthogonal aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Genau diese Eigenschaft hat man sich übrigens in den beiden Gleichungen, die in dem oben angesprochenen Beitrag verwendet werden, zu Nutze gemacht.
Da $M$ auszurechnen ist kein Problem mehr; julius hatte ja geschrieben:
[mm]\vec{0M} = \vec{0A} + \lambda \, \vec{AB}[/mm]
Also setze ich dort die Vektoren und den vorhin ausgerechneten Parameter $r$ ein::
[mm]\begin{pmatrix} m_1\\m_2\\m_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}\red{-}\black{}\bruch{2}{21}*\begin{pmatrix} 1\\4\\-2 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}\red{-}\black{}\begin{pmatrix} \bruch{2}{21}\\\bruch{8}{21}\\\bruch{4}{21} \end{pmatrix}[/mm]
[mm]=\begin{pmatrix} \bruch{42}{21}\\0\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \red{-}\black{}\bruch{2}{21}\\\red{-}\black{}\bruch{8}{21}\\\red{+}\black{}\bruch{4}{21} \end{pmatrix}[/mm]
[mm]=\begin{pmatrix} \bruch{\red{40}}{21}\\ \red{-}\black{}\bruch{8}{21}\\ \red{+}\black{}\bruch{4}{21} \end{pmatrix}[/mm]
Also: [mm] $M=(\bruch{\red{40}}{21}|\red{-}\black{}\bruch{8}{21}|\red{+}\black{}\bruch{4}{21})$
[/mm]
Alles klar soweit?
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
Also C (0|0|0) und [mm] $M=(\bruch{44}{21}|\bruch{8}{21}|\bruch{4}{21})$
[/mm]
das ergibt
[mm]\vec {MC}[/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\bruch{44}{21}\\ \bruch{8}{21} \\\bruch{4}{21} \end{pmatrix} [/mm]
und
|[mm]\vec {MC}[/mm]| = [mm]\wurzel{\bruch{96}{21}} = 2,14[/mm] LE (gerundet)
Die Grundseite [mm]\vec {AB}[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\-2 \end{pmatrix} [/mm] hat die Länge
|[mm]\vec {AB}[/mm]| = [mm]\wurzel{21} = 4,58[/mm] LE (gerundet)
Die Fläche des Dreiecks wird durch Grundseite * Höhe * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] gerechnet. Dies ergibt einen gerundeten Wert von 4,89 LE.
Das Volumen einer Pyramiden errechnet sich durch Grundfläche * Höhe *[mm]\bruch{1}{3}[/mm].
Also 4,89 * 2 * [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = 3,26 VE ( gerundet )
stimmt dat jetzt so ??? bitte !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Marc |
[Korrekturen rot gekennzeichnet. Marc, 3:00 16.3.2004]
Hallo lotte,
> Also C (0|0|0) und
> [mm] $M=(\bruch{44}{21}|\bruch{8}{21}|\bruch{4}{21})$
[/mm]
, aber ich muß zu meiner Schande gestehen, dass ich in meinem vorherigen Posting ein Minuszeichen vergessen hatte (das ist jetzt verbessert). Das fehlt hier bei dir jetzt auch.
Leider ändern sich dadurch nun doch die weiteren Ergebnisse.
[mm] $\red{M=(\bruch{40}{21}|-\bruch{8}{21}|\bruch{4}{21})}$
[/mm]
> das ergibt
>
> [mm]\vec {MC}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}\bruch{44}{21}\\ \bruch{8}{21} \\\bruch{4}{21} \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> und
>
> |[mm]\vec {MC}[/mm]| = [mm]\wurzel{\bruch{96}{21}} = 2,14[/mm] LE (gerundet)
super.
[mm]\red{|\vec {MC}|= \wurzel{\left( \bruch{40}{21} \right)^2 + \left( -\bruch{8}{21} \right)^2 +\left( \bruch{4}{21} \right)^2 } = \wurzel{ \bruch{1600+64+16}{21^2}}=\wurzel{\bruch{80}{21}}=4\wurzel{\bruch{5}{21}}}[/mm]
> Die Grundseite [mm]\vec {AB}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\-2 \end{pmatrix}[/mm]
> hat die Länge
>
> |[mm]\vec {AB}[/mm]| = [mm]\wurzel{21} = 4,58[/mm] LE (gerundet)
> Die Fläche des Dreiecks wird durch Grundseite * Höhe *
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] gerechnet. Dies ergibt einen gerundeten Wert
> von 4,89 LE.
Hier müßte es jetzt [mm] $\red{4\wurzel{\bruch{5}{21}}*\wurzel{21}*1/2=2\wurzel{5}}$ [/mm] lauten.
> Das Volumen einer Pyramiden errechnet sich durch
> Grundfläche * Höhe *[mm]\bruch{1}{3}[/mm].
> Also 4,89 * 2 * [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = 3,26 VE ( gerundet )
[mm] $\red{2\wurzel{5}*2*1/3 = \bruch{4}{3}\wurzel{5}}$
[/mm]
> stimmt dat jetzt so ??? bitte !!
Ich denke schon, jedenfalls stimmen jetzt alle Rechenwege. Für die konkreten Zahlenwerte verbürge ich mich nicht, insbesondere nicht für meine Werte für $M$. Da habe ich leider Recht behalten. :-( Aber das wichtigste, der Rechenweg, sollte dir klar geworden sein, oder?
Alles Gute,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
vielen vielen dank an dich und julius, ihr seit ganz große klasse !
werd eure seite mal an meine mitleidenden weiterempfehlen, da gibt es ja einige arme, die mathabi machen müssen = ) zum glück nicht ich, dann hättet ihrs noch arg schwer mit mir = )
vielleicht bis irgendwann, lotte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:33 Di 16.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Lotte!
Ja, empfiehl uns ruhig weiter an deine Freundinnen. Das freut uns. Schön, dass wir dir helfen konnten. Ich rechne die Aufgabe jetzt noch einmal komplett nach. Mal schauen, ob ich auch auf das Ergebnis komme. Wenn nicht, dann melde ich mich noch einmal.
Liebe Grüße
julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Di 16.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
also ich habe ein anderes Ergebnis raus und habe es jetzt zweimal nachgerechnet. Irgendwo muss also ein Fehler hier im Diskussionsstrang sein. Ich suche ihn jetzt mal...
Liebe Grüße
julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:59 Di 16.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Lotte!
Das ist jetzt natürlich auch alles falsch (Folgefehler!).
Ich bin aber jetzt zu müde und muss dringend ins Bett. Vielleicht hast du ja morgen früh noch die Gelegenheit die Aufgabe zu verbessern.
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:18 Di 16.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Lotte und Julius,
> Das ist jetzt natürlich auch alles falsch (Folgefehler!).
Danke für deine Fehlerfindung, Julius!
> Ich bin aber jetzt zu müde und muss dringend ins Bett.
> Vielleicht hast du ja morgen früh noch die Gelegenheit die
> Aufgabe zu verbessern.
Die Korrektur war ja auch meine Aufgabem schließlich habe ich es verbockt. Ich habe jetzt meine drei Beiträge korrigiert, und es müßte jetzt stimmen.
Danke nochmal und sorry für die entstandene Verwirrung,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:55 Di 16.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hier muss es dann richtig heißen:
[mm]\vec{0M} = \begin{pmatrix} \frac{42}{21} \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\frac{2}{21} \\ \frac{8}{21} \\ -\frac{4}{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{40}{21} \\ - \frac{8}{21} \\ \frac{4}{21} \end{pmatrix}[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 Di 16.03.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Lotte, lieber Marc!
Hier steckt der Fehler:
> [mm]\gdw 2 + r *21 = 0[/mm]
> [mm]\gdw r = \bruch{2}{21}[/mm]
Richtig:
[mm]\gdw r = -\bruch{2}{21}[/mm]
Dann ändert sich natürlich auch alles Weitere. Ich werde es jetzt mal verbessern.
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Mo 15.03.2004 | | Autor: | lotte |
WICHTIG : hab was übersehen, worauf ich eben erst hingewiesen wurde ( ist mein erster tag hier, sorry ! ) habe diese frage auch auf www.zahlreich.de gestellt. tut mir leid, dass ich das net gleich gesagt habe !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo lotte,
> WICHTIG : hab was übersehen, worauf ich eben erst
> hingewiesen wurde ( ist mein erster tag hier, sorry ! )
> habe diese frage auch auf www.zahlreich.de gestellt. tut
> mir leid, dass ich das net gleich gesagt habe !
 Da hast du aber was missverstanden, ich meinte, dass du bei zahlreich.de darauf hinweisen solltest, weil sich dort nämlich vielleicht jemand auch mit dieser Frage beschäftigt und dir eine doppelte Antwort gibt. Schreib' da doch einfach: "Hat sich erledigt." o.ä.
Hier bei uns brauchst du jetzt kein schlechtes Gewissen zu haben, dass du etwas falsch gemacht hättest, das wollte ich nicht mit meinem Hinweis im Café MR erreichen. Ich wollte dir nur bewußt machen, dass sich ja in jedem Forum, in dem du eine Frage stellst, sich Leute Gedanken zu deiner Aufgabe machen, und wenn diese Leute nichts voneinander wissen, dann entsteht unnötige Doppelarbeit.
Nichts für ungut, ist ja nichts passiert
Alles Gute und hoffentlich bleibst du uns zugeneigt
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Lotte!
Wenn du nie wieder auf www.zahlreich.de eine Frage stellst, dann sei dir verziehen.
Liebe Grüße
julius
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