anderes Ziegenproblem < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Wir haben im Mathe Unterricht gerade ein Problem, es soll wie auf folgender Grafik die Fläche berechnet werden. Die Ziege ist fest an dem Baum angebunden, dh. das Seil kann sich nicht um den Baum drehen.
[Externes Bild http://www.img-host.de/bild.php/71431,mathematischesproblemOVTZH.jpg]
Solange sich das Seil nicht um den Baum wickelt ist der Radius konstant, dh. man kann einfach [mm] 1/4*pi*r^2 [/mm] rechnen, aber wie komme ich auf die andere Fläche?
Die entstehende Formel soll auf sich ändernde Baum Durchmesser anwendbar sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo,
habt ihr denn das Ziegenproblem* schon besprochen, bei dem eine Ziege eine Kreisrunde fläche (an einen Pflock dessen Durchmesser vernachlässigt wird) abgrast?
Wenn ja, dann würde ich mir überlegen, ob man dieses Problem mit denselben Mitteln lösen kann.
Wenn nein, dann helfen dir u.U. die Stichwörter: Graph eines Halbkreises als Funktion, Flächen als Integral
Kannst du damit was anfangen?
Viele Grüße
ChopSuey
* Als 'Ziegenproblem' bezeichnet man soweit ich weiß eher das ![[]](/images/popup.gif) Monty Hall Problem
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Do 07.06.2012 | | Autor: | fraginator |
Es gibt keine Probleme mit Integralen und so etwas, das können wir schon alles. das Problem ist, die Funktion weiterzuführen, wenn der Strick sich beginnt um den Baumstamm zu wickeln. Wie bekommen wir da die Funktion zu raus?
|
|
|
| |
|
> Wir haben im Mathe Unterricht gerade ein Problem, es soll
> wie auf folgender Grafik die Fläche berechnet werden. Die
> Ziege ist fest an dem Baum angebunden, dh. das Seil kann
> sich nicht um den Baum drehen.
>
>
> [Externes Bild http://www.img-host.de/bild.php/71431,mathematischesproblemOVTZH.jpg]
>
> Solange sich das Seil nicht um den Baum wickelt ist der
> Radius konstant, dh. man kann einfach [mm]1/4*pi*r^2[/mm] rechnen,
> aber wie komme ich auf die andere Fläche?
> Die entstehende Formel soll auf sich ändernde Baum
> Durchmesser anwendbar sein.
Hallo fraginator,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
in der Zeichnung ist mir nicht ganz klar, um welchen
Flächeninhalt es genau geht. Da das Ganze später
für verschiedene Baumradien klappen soll, schlage
ich vor, für den Baumradius gleich R zu schreiben
(war in der Zeichnung R=2m oder 2R=2m gemeint ?)
Wenn die (geometrisch als punktförmig idealisierte)
Ziege durch das Seil der Länge L=1 am Baum befestigt
ist, könnte sie natürlich von dem Anbindepunkt aus
auf beide Seiten hin grasen. Das ergäbe dann ein
ungefähr herzförmiges Gebiet G, das man aber durch
seine Symmetrieachse in zwei gleich große Hälften H
zerlegen kann. Es sieht so aus, als dass man eine
dieser Hälften berechnen soll.
Wie du schon bemerkt hast, kann man dieses Gebiet
H weiter zerlegen in einen Viertelkreis V und ein
weiteres Gebiet W, welches durch einen Kreisbogen AB
(Teil des Baumumfangs), eine Strecke AS und einen
Bogen SB einer noch unbekannten Kurve k berandet
ist.
(Ich habe jetzt Bezeichnungen eingeführt, die wir
im Folgenden benützen können)
Die erste Hauptfrage ist die, um was für eine Kurve
es sich bei k handelt. Das ist eine in der Mathematik
bekannte Kurve, nämlich um eine Kreis-Evolvente.
Am besten schaust du zunächst einmal auf dieser
Wikipedia-Seite nach und versuchst, für die hier
vorliegende Kurve k die passende Parametrisierung
aufzuschreiben.
LG Al-Chwarizmi
Nachbemerkung:
Ich habe mal mit Rechnen begonnen. Es macht bestimmt
noch Sinn, anstatt L=1 (und R variabel) umgekehrt
vorzugehen und R=1 zu setzen (und dafür die Seillänge L
noch variabel zu halten).
Das macht die Rechnungen wesentlich übersichtlicher.
Auch für den Ziegenbesitzer wäre es wohl einfacher, ein
genügend langes Seil zu besorgen, das je nach Bedarf auch
verkürzt werden kann, als stets einen passenden Baum
mit geeignetem Radius zu finden ...
|
|
|
| |
|
Hallo zusammen,
ich habe jetzt noch eine Illustration zum Problem
erstellt. An einem Punkt des Baumumfanges
sind 8 verschieden lange Seile befestigt. Das
längste Seil ist so lang wie der halbe Baumumfang.
Die Kurven zeigen, wie weit die Ziege in jedem
der Fälle grasen kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: unbekannt) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo fraginator (und Andere),
besteht noch der Wunsch für eine Weiterverfolgung der
Aufgabe bis zur Lösung für die Flächeninhalte ?
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Fr 08.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
Ich les noch mit, auch wenn ich unter dem Thementitel etwas anderes vermutet habe.
Mich interessiert aber eher, womit du die Zeichnung erstellt hast 
Die Kreisevolvente kannte ich noch nicht. Scheint auch etwas kniffliger zu sein als die Archimedische Spirale. Von daher interessiert es mich schon.
Im Prinzip braucht man dann doch "nur" die Polarkoordinatendarstellung und ein Integral zu lösen.
Edit: Eventuell ist es sinnvoll im Forum auch Tikz freizuschalten. Geht anscheinend nicht.
|
|
|
| |
|
> Ich les noch mit, auch wenn ich unter dem Thementitel etwas
> anderes vermutet habe.
... naja, was Ziegen halt noch so alles drauf haben !
> Mich interessiert aber eher, womit du die Zeichnung
> erstellt hast
Wieder mal mit einem selber gebastelten Pascal-Programm.
> Die Kreisevolvente kannte ich noch nicht. Scheint auch
> etwas kniffliger zu sein als die Archimedische Spirale. Von
> daher interessiert es mich schon.
Die Kreisevolvente hat aber eine wichtige Eigenschaft, welche
oft fälschlicherweise eben gerade der Archimedischen Spirale
zugesprochen wird: die aufeinander folgenden Windungen
der Kreisevolvente haben voneinander konstante Abstände.
> Im Prinzip braucht man dann doch "nur" die
> Polarkoordinatendarstellung und ein Integral zu lösen.
Eigentlich nicht Polarkoordinaten (das würde kompliziert),
aber eine Parameterdarstellung.
LG Al
|
|
|
| |
|
Uns ist noch nicht ganz klar wie man mit der Kreisevolvente rechnet.
Von Polarkoordinaten haben wir noch nichts gehört, wie bekommen wir die Kreisevolvente in einer ganz normalen Funktion dargestellt? Das Integral rechnen etc. ist nicht dann nicht mehr das Problem.
Unser jetziges Problem ist dass wir mit der Kreisevolvente nicht klar kommen.
Polarkoordinaten sind im Grunde nichts anderes als eine Gleichung für die x-koordinate und eine Gleichung für die Y-koordinate, aber was ich damit dann anfangen kann ist mir noch nicht so ganz Klar.
|
|
|
| |
|
> Uns ist noch nicht ganz klar wie man mit der Kreisevolvente
> rechnet.
> Von Polarkoordinaten haben wir noch nichts gehört, wie
> bekommen wir die Kreisevolvente in einer ganz normalen
> Funktion dargestellt? Das Integral rechnen etc. ist nicht
> dann nicht mehr das Problem.
> Unser jetziges Problem ist dass wir mit der Kreisevolvente
> nicht klar kommen.
>
> Polarkoordinaten sind im Grunde nichts anderes als eine
> Gleichung für die x-koordinate und eine Gleichung für die
> Y-koordinate, aber was ich damit dann anfangen kann ist mir
> noch nicht so ganz Klar.
Guten Tag !
Also schauen wir uns das Ganze etwas näher an.
Ich verwende dabei die Bezeichnungen, wie ich sie
in diesem Artikel eingeführt habe. Hier nochmals
etwas ausführlicher in einem Koordinatensystem:
Der Baum habe den Radius R=1 und werde durch den
Einheitskreis im x-y-Koordinatensystem repräsentiert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Ziege sei im Punkt A(1|0) mit einem Seil der
Länge L angebunden. Wir betrachten das Gebiet H
oberhalb der x-Achse, welches die Ziege abgrasen kann.
Dieses Gebiet H zerlegen wir in H=V+W, wobei V der
Viertelkreis mit (Kreis-)Zentrum A(1|0) und dem Bogen CS
mit C(L+1|0) und S(1|L) ist und W das übrige Teilgebiet,
das durch die Strecke AS, einen Bogen SB der noch
zu beschreibenden Evolvente k und den Kreisbogen BA
auf dem "Baumumfang"=Einheitskreis umrandet wird.
Dieser letztere Kreisbogen hat die Länge L (die Ziege
kann bis zum Punkt B gelangen, wenn das Seil straff
der Baumrinde entlang gespannt ist). Da wir R=1
gewählt haben, entspricht diese Bogenlänge auch
gerade dem Wert des Winkels [mm] \angle{AOB} [/mm] im Bogenmaß,
das wir für die trigonometrischen Rechnungen ohne-
hin voraussetzen. So bekommt nun beispielsweise der
Punkt B die Koordinaten [mm] x_B=cos(L) [/mm] und [mm] y_B=sin(L) [/mm] .
Nun zur Evolvente: Wenn sich die Ziege am gespannten
Seil in einem Punkt K des Evolventenbogens SB befindet,
liegt das Seil von A bis zu einem gewissen Punkt P auf
dem Baumumfang=Einheitskreis. Das restliche Seilstück PK
ist Teil der in P an den Einheitskreis gelegten Tangente.
Um diese Situation zu beschreiben, bezeichnen wir zunächst
den Polarwinkel des Punktes P mit [mm] \varphi. [/mm] P hat dann also
die Koordinaten [mm] x_P=cos(\varphi) [/mm] und [mm] y_P=sin(\varphi).
[/mm]
Die Länge des Bogens AP entspricht gerade diesem Winkel [mm] \varphi.
[/mm]
Für die Länge der Strecke PK verbleibt daher der Rest
der Seillänge, also [mm] |\overrightarrow{PK}|=L-\varphi [/mm] .
Der Vektor [mm] \overrightarrow{PK} [/mm] hat den Richtungswinkel [mm] \psi
[/mm]
mit [mm] \psi=\varphi+\frac{\pi}{2} [/mm] (weshalb?).
Damit kann man nun die Komponenten dieses Vektors
darstellen:
[mm] $\overrightarrow{PK}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{(L-\varphi)*cos(\varphi+\frac{\pi}{2})\\(L-\varphi)*sin(\varphi+\frac{\pi}{2})}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{-(L-\varphi)*sin(\varphi)\\(L-\varphi)*cos(\varphi)}$
[/mm]
Weiter haben wir nun:
[mm] $\overrightarrow{OK}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{OP}\,+\,\overrightarrow{PK}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{cos(\varphi)-(L-\varphi)*sin(\varphi)\\sin(\varphi)+(L-\varphi)*cos(\varphi)}$ [/mm]
Dies ist die gesuchte Parameterdarstellung für die Kurve k.
Um das Bogenstück vom Punkt S zum Punkt B zu beschreiben,
muss der Punkt P von A aus auf dem Einheitskreis bis B
wandern, der zugehörige Zentriwinkel also von [mm] \varphi=0
[/mm]
bis [mm] \varphi=L.
[/mm]
So, dies wäre nun mal die Kurve. Damit kann man sich dann
im nächsten Schritt der Flächenberechnung zuwenden.
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Für die Weidefläche der Ziege links der Strecke [mm]AS[/mm] habe ich [mm]\frac{1}{6} L^3[/mm] als Flächeninhalt (mit [mm]0 < L < 2 \pi[/mm]), welches Ergebnis mich schon einigermaßen in Erstaunen versetzt hat:
Wo ist [mm]\pi[/mm] geblieben?
|
|
|
| |
|
> Für die Weidefläche der Ziege links der Strecke [mm]AS[/mm] habe
> ich [mm]\frac{1}{6} L^3[/mm] als Flächeninhalt (mit [mm]0 < L < 2 \pi[/mm]),
> welches Ergebnis mich schon einigermaßen in Erstaunen
> versetzt hat:
>
> Wo ist [mm]\pi[/mm] geblieben?
Da habe ich schon etwas anderes erhalten:
falsch:
[mm] $\red{ W\ =\ \frac{L*(L^2+3)}{6}-\frac{sin(L)*cos(L)}{2}\ =\ \frac{L^3}{6}+\frac{L-sin(L)*cos(L)}{2}}$
[/mm]
... aber doch lieber ohne Garantie ...
Dass [mm] \pi [/mm] nicht auftritt, beunruhigt mich nicht, da L ja auch
eine Winkelgröße ist, in welcher [mm] \pi [/mm] implizit enthalten ist.
Al
Korrektur:
Du scheinst doch das richtige Ergebnis zu haben. Ich habe
nämlich jetzt den Flächeninhalt noch auf eine ganz einfache
Art (sogar ohne die aufgestellte Parametergleichung)
berechnen können durch Betrachtung infinitesimaler
Dreiecke.
Den eigentlichen Fehler in meiner vorherigen Rechnung
muss ich aber erst noch suchen.
So nebenbei bin ich jetzt auch noch auf eine interessante
Schrift gestoßen, in welcher ein ehemaliger Mitstudent
und Kollege, A. Gächter, die Kreisevolvente von vielen
Blickpunkten betrachtet und auch für den Unterricht
zugänglich macht (mit vielen Übungen):
Kreisevolvente (Gächter)
Man sieht dort (Seite 30 des Originaldokuments), wie
Denis Diderot (1713-1784), den man von ganz anderen
Tätigkeiten her kennt (Schriftsteller, Philosoph), genau
einen solchen Flächeninhalt berechnet, wie er uns hier
interessiert.
Noch eine Bemerkung: Dass "unsere Formel" dimensions-
mäßig eigentlich nicht stimmen kann, liegt daran, dass
wir R=1 gesetzt haben. Lassen wir stattdessen die
Strecke R nebst der Seillänge L in der Rechnung stehen,
kommen wir auf die Flächenformel:
$\ W\ =\ [mm] \frac{1}{6}\ \frac{L^3}{R}$
[/mm]
Gruß Al
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Flächenberechnung kann man sogar durchführen,
ohne eine Parameterdarstellung der Evolvente
zu haben !
Ich verwende wieder die schon vorher benützten
Bezeichnungen und dazu der Einfachheit halber
noch den zusätzlichen Winkel [mm] t:=L-\varphi [/mm] = [mm] \angle{POB}.
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für die Integration zerlegen wir nun das Gebiet
W (mit den Ecken A,S,B) nicht etwa in Streifen,
sondern in infinitesimale Dreiecke. Wenn der Winkel
t von 0 bis L läuft, bewegt sich P dem Einheitskreis
entlang von B nach A und der Punkt K (auf der Evolvente)
von B nach S. Der Pfeil [mm] \overrightarrow{PK} [/mm] überstreicht
dabei das gesamte Gebiet W, welches wir berechnen
wollen. Betrachten wir nun das Ganze in einem sehr
kleinen Zeitintervall der ("infinitesimalen") Länge dt:
P bewegt sich zu [mm] P_1 [/mm] , K zu [mm] K_1. [/mm] Der Vektor [mm] \overrightarrow{PK}
[/mm]
überstreicht ein infinitesimales Gebiet, welches in
etwa wie ein Kreissektor oder ein Dreieck aussieht.
Dessen Flächeninhalt dW können wir auch entsprechend
ausdrücken: [mm] dW=Grundlinie*H\ddot{o}he/2 [/mm] .
Grundlinie ist dabei die Bogenlänge [mm] KK_1=t*dt [/mm] ,
und die Höhe entspricht der Länge von PK, also t .
Abgesehen von Termen höherer Ordnung (also
mit [mm] (dt)^2 [/mm] etc.) erhalten wir demnach das Flächen-
differential
$\ dW\ =\ [mm] \frac{1}{2}*t^2*dt$
[/mm]
Durch Integration erhalten wir daraus den Flächeninhalt
$\ W\ =\ [mm] \integral_{t=0}^{L} [/mm] dW\ =\ [mm] \frac{L^3}{6}$
[/mm]
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Im Moment ist mir noch unklar wie du auf die Formel für die Grundlinie des Dreiecks gekommen bist. Der Bogen KK1 wird in diesem Fall ja zu einer geraden verallgemeinert, was aber auch vollkommen in Ordnung ist da es sich ja um ein Näherungsverfahren handelt, aber wie kommst du auf die Formel KK1=t*dt ?
Und wie kommst du dann später auf die integrations-Formel?
Ich hätte jetzt einfach möglichst viele Teilflächen berechnet und zusammen gezählt (natürlich mit Hilfe eines PC´s)
ich danke dir schon einmal für deine Hilfe ;)
|
|
|
| |
|
> Im Moment ist mir noch unklar wie du auf die Formel für
> die Grundlinie des Dreiecks gekommen bist. Der Bogen [mm] KK_1 [/mm]
> wird in diesem Fall ja zu einer geraden verallgemeinert,
> was aber auch vollkommen in Ordnung ist da es sich ja um
> ein Näherungsverfahren handelt,
Das Verfahren liefert das exakte Resultat, ist also nicht
wirklich ein Näherungsverfahren !
Nur die Überlegungen, die eigentlich für ein "infinitesimales"
dt gedacht sind, die wir uns aber mit einem gar nicht sehr
kleinen endlichen dt veranschaulichen, sind vorerst
Näherungen - aber eben von der Art, dass deren Unge-
nauigkeiten im Grenzfall [mm] dt\to0 [/mm] verschwinden.
> aber wie kommst du auf die
> Formel [mm] KK_1=t*dt [/mm] ?
Die Länge der Strecke PK entspricht wegen unserer
Wahl R=1 dem Winkel [mm] t=L-\varphi [/mm] im Bogenmaß.
Außerdem ist der Winkel zwischen PK und [mm] P_1K_1
[/mm]
gleich dem Winkelinkrement dt des Winkels t.
Wir können die Strecke [mm] KK_1 [/mm] (bzw. auch den Bogen [mm] KK_1)
[/mm]
in erster Ordnung gleichsetzen mit der Bogenlänge
eines Kreisbogens mit dem Radius PK, der gleich t
ist und dem Zentriwinkel dt. Diese Bogenlänge ist
Radius*Winkel=t*dt .
Es ist nur anzumerken, dass Analysis-Puristen wohl
auf einer rigideren Formulierung bestehen würden.
Ein "exakteres" Ergebnis finden die allerdings auch nicht ...
> Und wie kommst du dann später auf die
> integrations-Formel?
Es wird einfach das Differential [mm] dW=\frac{1}{2}*t^2*dt [/mm] von
t=0 bis t=L integriert.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
wenn ich die Diff-Flächenformel integriere fällt das dt nicht raus, wie hast du das weg bekommen?
|
|
|
| |
|
Eine dynamische Zeichnung befindet sich im Anhang. Öffne die Datei mit Euklid.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
danke für die dyn. Zeichnung, wenn ich es richtig verstanden habe müsstest du aber anstatt d(S;O) d(S;A) für die Länge des Seils schreiben oder?
|
|
|
| |
|
Das hast du richtig verstanden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:18 Di 10.07.2012 | | Autor: | fraginator |
Warum ist der Winkel zwischen t & t1 dt?
Das ist der Knackpunkt im Moment.
|
|
|
| |
|
> wenn ich die Diff-Flächenformel integriere fällt das dt
> nicht raus, wie hast du das weg bekommen?
Das ist wohl ein kleines Missverständnis. Das dt ist nicht
ein zusätzlicher konstanter Faktor, sondern eben das
Differential der Variablen t, so wie dW das Differential
der Variablen W ist.
LG
|
|
|
| |
|
ich hatte in letzter zeit viel zu tun, darum habe ich noch nicht geantwortet, ich habe es jetzt soweit verstanden, das einzig unklare ist wie du auf die Formel kk1=t*dt kommst.
kannst du dies genauer beschreiben?
Danke dir für deine Hilfe;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mo 09.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in dem post von So 16.33 ist das ganz genau erklärt, du müsstest schon sagen was daran unklar ist?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Warum ist der Winkel zwischen t & t1 dt?
Das ist der Knackpunkt im Moment.
(Habe die frage nochmal gestellt da ich sie davor falsch in den Thread eingebaut habe.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Di 10.07.2012 | | Autor: | chrisno |
Es wird ein kleiner Winkel gewählt. Der wird dt genannt, weil er in der weiteren Betrachtung "unendlich klein" werden soll. Du suchst nach einer Herleitung, wenn ich Deine Frage richtig verstehe. Die gibt es nicht. Die ganze Berechnung beginnt im Prinzip so: "Der Winkel zwischen ... wird dt genannt."
|
|
|
| |
|
ich schrieb:
> die Flächenberechnung kann man sogar durchführen,
> ohne eine Parameterdarstellung der Evolvente
> zu haben !
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn man sich aber schon die Mühe gemacht hat, die
Evolvente zu parametrisieren, so kann man natürlich
auch davon ausgehen, um den Flächeninhalt von W
durch Integration zu berechnen. Beispielsweise so:
Man parametrisiert die gesamte Umfangslinie des
Gebietes W im positiven Umlaufsinn in drei Stücken:
von A nach S : [mm] $\pmat{x(t)\\y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\t}\qquad (0\le t\le [/mm] L)$
von S nach B : [mm] $\pmat{x(t)\\y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{cos(t)-(L-t)*sin(t)\\sin(t)+(L-t)*cos(t)}\qquad (0\le t\le [/mm] L)$
von B nach A : [mm] $\pmat{x(t)\\y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{cos(t)\\sin(t)}\qquad (L\ge t\ge [/mm] 0)$
Dann kann man den Flächeninhalt als Kurvenintegral
über den Umfang berechnen:
[mm] $\mbox{\Large{Area(W)\ =\ \underset{\partial\,W}{\oint}x\ dy\ =\ \underset{\partial\,W}{\oint}x(t)*\dot y(t)\ dt}}$
[/mm]
Al-Chw.
|
|
|
|
