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| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler unitärer bzw. euklidischer Vekorraum mit Skalarprodukt [mm]*[/mm] und sei [mm] \alpha \in Hom_{K} [/mm] (V,V) anti-selbstadjungiert. Zeigen Sie:
a) [mm] \alpha-id_{V} [/mm] ist ein Isomorphismus
[mm] b)(\alpha-id_{V})^{-1} \circ (\alpha+id_{V}) [/mm] ist unitär bzw orthogonal |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich würde mich über Hilfe sehr freuen! Ich hoffe, wie das nachzuweisen ist, ist richtig, kann die Durchführung aber irgentwie nicht alleine :(
Bei a) Hier muss die Bijektivität direkt mit den Definitionen injektiv/surjektiv gezeigt werden oder? Wie sieht denn da die Abbildung genau aus?
zu b) zu zeigen wäre ja , dass für alle v,w [mm] \in [/mm] V
[mm] (\alpha-id_{V})^{-1}\circ (\alpha+id_{V})(v)*(\alpha-id_{V})^{-1} \circ (\alpha+id_{V})(w)=v*w [/mm] ist,
kann man hierfür auch nachweisen, dass [mm] (\alpha-id_{V})^{-1} \circ (\alpha+id_{V}) [/mm] eine Isometrie ist, also für alle [mm] v\in [/mm] V [mm] \parallel (\alpha-id_{V})^{-1} \circ (\alpha+id_{V}) [/mm] (v) [mm] \parallel =\parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] ?
Ich freue mich über Hilfe
Liebe Grüße und ein frohes neues Jahr
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Sei V ein endlichdimensionaler unitärer bzw. euklidischer
> Vekorraum mit Skalarprodukt [mm]*[/mm] und sei [mm]\alpha \in Hom_{K}[/mm]
> (V,V) anti-selbstadjungiert. Zeigen Sie:
> a) [mm]\alpha-id_{V}[/mm] ist ein Isomorphismus
> [mm]b)(\alpha-id_{V})^{-1} \circ (\alpha+id_{V})[/mm] ist unitär
> bzw orthogonal
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich würde mich über Hilfe sehr freuen! Ich hoffe, wie
> das nachzuweisen ist, ist richtig, kann die Durchführung
> aber irgentwie nicht alleine :(
> Bei a) Hier muss die Bijektivität direkt mit den
> Definitionen injektiv/surjektiv gezeigt werden oder? Wie
> sieht denn da die Abbildung genau aus?
>
Du musst bloß zeigen, dass der Kern der Abbildung trivial ist (Warum?). Mach das so: Nehme an, dass gilt: [mm]\alpha (v)-v=0[/mm] für ein [mm]v\in V[/mm]. Folgere dann (indem du benutzt dass [mm]\alpha[/mm] anti-selbstadjungiert ist), dass [mm]=0[/mm] gilt.
> zu b) zu zeigen wäre ja , dass für alle v,w [mm]\in[/mm] V
> [mm](\alpha-id_{V})^{-1}\circ (\alpha+id_{V})(v)*(\alpha-id_{V})^{-1} \circ (\alpha+id_{V})(w)=v*w[/mm]
> ist,
> kann man hierfür auch nachweisen, dass
> [mm](\alpha-id_{V})^{-1} \circ (\alpha+id_{V})[/mm] eine Isometrie
> ist, also für alle [mm]v\in[/mm] V [mm]\parallel (\alpha-id_{V})^{-1} \circ (\alpha+id_{V})[/mm]
> (v) [mm]\parallel =\parallel[/mm] v [mm]\parallel[/mm] ?
>
Rechne lieber sofort [mm](\alpha-id_{V})^{-1} \circ (\alpha+id_{V})\circ ((\alpha-id_{V})^{-1} \circ (\alpha+id_{V}))^{\*}=id_{V}[/mm] nach. Dabei musst du bloß einige Rechenregeln kennen.
> Ich freue mich über Hilfe
> Liebe Grüße und ein frohes neues Jahr
Dir auch.
Beste Grüße,
Berieux
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| Aufgabe | | hallo, danke dir. Ich komme nicht drauf, wieso nur bei a)die Injektivität zu zeigen ist. Also dann müsste man ja schon wissen, dass die Abb. surjektiv sein soll. Habe mal gerechnet, komme aber schnell nicht mehr weiter.. |
[mm] (\alpha-id)(v)=\alpha(v)-v=0 [/mm] : [mm] \alpha(v)=v [/mm] und weil alpha antiselbstadjungiert, ist auch [mm] -\alpha\*(v)=v [/mm] .. wie kann man das mit <v,v>=0 (dann hat man ja, das v=0 ist) zusammenbekommen? (sry ist mir ein wenig unangenehm, wie ich mich anstelle)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Do 05.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist V ein endlichdim. Vektorraum und [mm] \phi:V \to [/mm] V linear, so gilt:
[mm] \phi [/mm] ist bijektiv [mm] \gdw \phi [/mm] ist injektiv [mm] \gdw \phi [/mm] ist surjektiv
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Do 05.01.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
ups^^ danke:)
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wie kann man denn da jetzt weiterrechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Do 05.01.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Sei [mm]v\in ker(\alpha -id)[/mm]. Dann ist [mm]\alpha (v)=v[/mm].
Dann folgt:
[mm]=<\alpha (v), v>==-[/mm].
Beste Grüße,
Berieux
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