arccos(-z)=Pi-arccos(z) Beweis < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bei Abramowitz lese ich:
arccos(-z)=PI-arccos(z)
Anscheinend gilt die Formel also für Komplexe zahlen z.
Meine Frage: Kann man das elementar beweisen, also ohne Reihen?
Für reelle z gibt es genug Beweise, aber auch für komplexe z?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 Do 28.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Bei Abramowitz lese ich:
> arccos(-z)=PI-arccos(z)
> Anscheinend gilt die Formel also für Komplexe zahlen z.
>
> Meine Frage: Kann man das elementar beweisen, also ohne
> Reihen?
>
> Für reelle z gibt es genug Beweise, aber auch für
> komplexe z?
Schau mal hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus#Komplexe_Argumente
FRED
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Ich suchte eigentlich die Beweisidee zur Formel, ganz abgesehen davon, dass es eine ähnliche aber andere Formel ist. Aber trotzdem danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Do 28.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich suchte eigentlich die Beweisidee zur Formel, ganz
> abgesehen davon, dass es eine ähnliche aber andere Formel
> ist. Aber trotzdem danke.
Hä ? Mit den Formeln im obigen Link lässt sich Deine Aufgabe doch prima lösen !!!!!
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Do 28.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hä?
Was Hä ? Warum probierst Du es nicht ?
Mit
[mm] \arccos(a+b\,\mathrm{i}) [/mm] = [mm] \frac\pi2 [/mm] - [mm] \arcsin(a+b\,\mathrm{i}) [/mm]
läuft die Formel, die Du zeigen sollst auf
[mm] $\arcsin(-z)=-\arcsin(z)$
[/mm]
hinaus. Mit [mm] $z=a+b\,\mathrm{i}$ [/mm] schau Dir die Darstellung von [mm] \arcsin [/mm] auf der Wikiseite an !
FRED
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Die Formel kann ich doch nicht benutzen, die soll ich doch beweisen.
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Hallo,
Zeigen sollst du doch :
$arccos(-z)= [mm] \pi [/mm] - arccos(z)$
oder etwa nicht ?
Wenn du das zeigen möchtest, dann wirst du - sofern der Beweis nicht explodieren soll - wohl ein paar bekannte Identitäten verwenden müssen.
In dem Wiki - Artikel findest du entsprechendes Werkzeug und Fred hat dir auch schon einen Teil vorgemacht.
Beste Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Do 28.01.2016 | | Autor: | Psychopath |
Achso! Aber warum hat er es nicht gleich gesagt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Do 28.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Achso! Aber warum hat er es nicht gleich gesagt?
Gehts noch ? Lies Dir mal durch, was ich Dir alles geschrieben habe !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Do 28.01.2016 | | Autor: | Psychopath |
Ehrlich gesagt haben mir deine Beiträge überhaupt nichts gebracht. Ich denke, du willst dich nur profilieren. Aber trotzdem danke für nichts. hab es schneller selbst rausbekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 28.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ehrlich gesagt haben mir deine Beiträge überhaupt nichts
> gebracht.
Das ist unverschämt !
> Ich denke, du willst dich nur profilieren. Aber
> trotzdem danke für nichts.
Du machst Deinem Nickname alle Ehre !
> hab es schneller selbst
> rausbekommen.
So, wie denn ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Do 28.01.2016 | | Autor: | Psychopath |
> So, wie denn ?
> FRED
Ganz einfach:
1. Nimm ein negatives z
2. Berücksichtige, dass sin(z) ungerade ist
3. Addiere die Gleichungen
Aber wie gesagt: Mit Rückgriff auf Wiki ist das ein Dreizeiler. Bloß kann ich meinem Prof. schlecht sagen, dass diese Formel (auf die ich zurückgreifen soll) stimmt, weil sie bei wikipedia steht  Der würde sich totlachen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Do 28.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> > So, wie denn ?
> > FRED
>
> Ganz einfach:
> 1. Nimm ein negatives z
Ach was ? Was ist denn eine negative komplexe Zahl ?
> 2. Berücksichtige, dass sin(z) ungerade ist
> 3. Addiere die Gleichungen
Welche ?
>
> Aber wie gesagt: Mit Rückgriff auf Wiki ist das ein
> Dreizeiler. Bloß kann ich meinem Prof. schlecht sagen,
> dass diese Formel (auf die ich zurückgreifen soll) stimmt,
> weil sie bei wikipedia steht Der würde sich
> totlachen.
>
Wie hat denn dieser Prof den arccos im Komplexen eingeführt?
Fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Do 28.01.2016 | | Autor: | Psychopath |
> Wie hat denn dieser Prof den arccos im Komplexen
> eingeführt?
> Fred
Wie üblich:
[mm] arccos(z)=-i*ln(z+\wurzel{z²-1} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Do 28.01.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Wie üblich:
>
> [mm]arccos(z)=-i*ln(z+\wurzel{z²-1}[/mm]
aha, und wer sagt dir, dass das so üblich ist? Es gibt deutlich mehr als eine Möglichkeit den [mm] $\arccos$ [/mm] einzuführen und dabei würde ich deine mal nicht als "üblich" bezeichnen.
Aber die inhaltliche Arroganz dieser Aussage ist bezeichnend.....
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Do 28.01.2016 | | Autor: | Psychopath |
> aha, und wer sagt dir, dass das so üblich ist? Es gibt
> deutlich mehr als eine Möglichkeit den [mm]\arccos[/mm]
> einzuführen und dabei würde ich deine mal nicht als
> "üblich" bezeichnen.
>
> Gruß,
> Gono
Das ist die Einführung über die Umkehrfunktion. Das ist Standard.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Do 28.01.2016 | | Autor: | algieba |
> Ehrlich gesagt haben mir deine Beiträge überhaupt nichts
> gebracht. Ich denke, du willst dich nur profilieren. Aber
> trotzdem danke für nichts. hab es schneller selbst
> rausbekommen.
Das ist wirklich unverschämt, gerade Fred Profilierung vorzuwerfen. Wenn du in diesem Forum öfters aktiv wärest, dann wüsstest du dass Fred einer der zuverlässigsten und fachlich kompetentesten Fragenbeantworter ist. Ohne ihn wäre das Forum bei weitem nicht so hilfreich wie es ist. Und das tut er (wie alle anderen hier auch) in seiner Freizeit.
@Fred: Bitte lass dich nicht von solchen Leuten unterkriegen. Du hast mir und sicher auch vielen anderen schon öfter mal den Arsch gerettet und durch deine nette Art auf den richtigen Lösungsweg gebracht. Mach so weiter wie bisher.
Vielen Dank für dein Engagement!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Do 28.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Ehrlich gesagt haben mir deine Beiträge überhaupt nichts
> > gebracht. Ich denke, du willst dich nur profilieren. Aber
> > trotzdem danke für nichts. hab es schneller selbst
> > rausbekommen.
>
Hallo Algieba,
> Das ist wirklich unverschämt, gerade Fred Profilierung
> vorzuwerfen. Wenn du in diesem Forum öfters aktiv wärest,
> dann wüsstest du dass Fred einer der zuverlässigsten und
> fachlich kompetentesten Fragenbeantworter ist. Ohne ihn
> wäre das Forum bei weitem nicht so hilfreich wie es ist.
> Und das tut er (wie alle anderen hier auch) in seiner
> Freizeit.
>
> @Fred: Bitte lass dich nicht von solchen Leuten
> unterkriegen.
Ganz bestimmt nicht. Solche Vollpfosten gehen mir sonstwo vorbei.
> Du hast mir und sicher auch vielen anderen
> schon öfter mal den Arsch gerettet und durch deine nette
> Art auf den richtigen Lösungsweg gebracht. Mach so weiter
> wie bisher.
> Vielen Dank für dein Engagement!
Danke für Deinen Beitrag und Gruß
FRED
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Bis darauf, wie schon gesagt wurde, dass Fred sehr aktiv und bemüht ist würde ich nur gern folgendes anmerken, wie es zumindest im Internet üblich ist:
! = Etwas lauter, mit Nachdruck sagen.
!! = Etwas lauter schreien.
!!! = Laut schreien.
!!!! = Sehr laut schreien.
!!!!! = Ins Gesicht brüllen.
Ich hoffe nicht, dass es in diesem Stadium der Diskussion schon wirklich als brüllen gemeint war. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Do 28.01.2016 | | Autor: | Psychopath |
> Bis darauf, wie schon gesagt wurde, dass Fred sehr aktiv
> und bemüht ist würde ich nur gern folgendes anmerken, wie
> es zumindest im Internet üblich ist:
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> ! = Etwas lauter, mit Nachdruck sagen.
> !! = Etwas lauter schreien.
Quatsch, dass ist die Fakultät und die Doppelfakultät
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Ich will die unhöfliche Reaktion von Psychopath auf fred97 nicht verteidigen. Daß er allerdings in seinem Anliegen, einen Beweis für seine Formel zu bekommen, die gegebenen Hinweise nicht ausreichend fand, kann ich verstehen. Schließlich ist die komplexe Arcuscosinusfunktion nicht so abzuhandeln, als gäbe es da keine besonderen Schwierigkeiten. Schon im Reellen macht der Cosinus beim Umkehren Probleme. Und nun erst recht im Komplexen. Jetzt gehen wir das noch einmal sorgfältig durch.
[mm] z = cos(w) = \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}w} + \operatorname{e}^{-\operatorname{i}w}}{2}[/mm]
ist nach [mm]w[/mm] aufzulösen und in irgendeinem vernünftigen Sinn zu einer eindeutigen Funktion zu machen. Das formale Auflösen ist nicht schwierig. Man multipliziert die Gleichung mit [mm]2 \operatorname{e}^{\operatorname{i}w}[/mm] durch und erhält eine quadratische Gleichung in [mm]\operatorname{e}^{\operatorname{i}w}[/mm]. Die löst man nach [mm]\operatorname{e}^{\operatorname{i}w}[/mm] auf und logarithmiert. Man bekommt schließlich:
[mm]w = - \operatorname{i} \cdot \log \left( z + \sqrt{z^2 - 1} \right)[/mm]
Zunächst ist diese Gleichung in ihrer gesamten Mehrdeutigkeit zu lesen: Für die Wurzel gibt es zwei Werte, die durch Vorzeichenwechsel auseinander hervorgehen. Für den komplexen Logarithmus gibt es unendlich viele Werte, die sich um ein ganzzahliges Vielfaches von [mm]2 \pi \operatorname{i}[/mm] unterscheiden. Jetzt müssen wir ein paar Entscheidungen treffen, um daraus eine eindeutige Funktion zu machen.
Von jetzt ab sei [mm]|z|<1[/mm].
Wir betrachten zunächst den Radikanden [mm]z^2-1[/mm]. Quadrieren bildet den Einheitskreis auf sich selbst ab. Das nachträgliche Subtrahieren von 1 verschiebt ihn um 1 nach links. Der Kreis liegt nun in der linken Halbebene. Wir können dort die Wurzel folgendermaßen festlegen:
1. Für [mm]z = r \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}t}[/mm] mit [mm]r \geq 0[/mm] und [mm]t \in \left( \frac{1}{2} \pi , \frac{3}{2} \pi \right)[/mm] sei [mm]\sqrt{z} = \sqrt{r} \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot \frac{t}{2}}}[/mm], wobei mit [mm]\sqrt{r}[/mm] natürlich die positive reelle Wurzel gemeint ist.
Mit dieser Definition der Wurzel liegt [mm]\sqrt{z^2-1}[/mm] nun in der oberen Halbebene, genauer: im Winkelfeld zwischen den Argumenten [mm]\frac{1}{4} \pi[/mm] und [mm]\frac{3}{4} \pi[/mm].
Jetzt betrachten wir [mm]p = z + \sqrt{z^2-1}[/mm] und [mm]q = -z + \sqrt{z^2-1}[/mm]. Man rechnet sofort [mm]pq=-1[/mm] nach. Der Summand [mm]\sqrt{z^2-1}[/mm] liegt in der oberen Halbebene, wie gerade nachgewiesen. Entweder [mm]z[/mm] oder [mm]-z[/mm] liegt ebenfalls in der oberen Halbebene. Also liegt eine der beiden Zahlen [mm]p,q[/mm] auf jeden Fall in der oberen Halbebene. Wegen [mm]pq=-1[/mm] tut dies dann aber auch die andere (die gegenteilige Annahme führt auf einen Widerspruch bei den Argumenten).
Damit ist gezeigt: Für [mm]|z|<1[/mm] liegt [mm]z + \sqrt{z^2-1}[/mm] in der oberen Halbebene. Jetzt können wir den komplexen Logarithmus eindeutig festlegen:
2. Für [mm]log[/mm] nehmen wir den Zweig des komplexen Logarithmus, der für die obere Halbebene einen Imaginärteil zwischen 0 und [mm]\pi[/mm] hat (Hauptzweig).
Mit den Festlegungen unter 1. und 2. definieren wir nun
[mm]\arccos z = - \operatorname{i} \cdot \log \left( z + \sqrt{z^2-1} \right) \, , \ \ |z|<1[/mm]
und haben damit eine komplexe Arcuscosinusfunktion präzise festlegt. Es gilt z.B. [mm]\arccos 0 = - \operatorname{i} \cdot \log \left( \sqrt{-1} \right) = - \operatorname{i} \cdot \log \operatorname{i} = - \operatorname{i} \cdot \operatorname{i} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}[/mm]. Diese Definition stimmt für reelle [mm]z=x \in (-1,1)[/mm] mit dem gewöhnlichen reellen Arcuscosinus überein.
Das war die Vorarbeit. Jetzt geht es an den Beweis der Gleichung. Man kann mit [mm]p,q[/mm] von eben arbeiten und [mm]pq=-1[/mm] verwenden. Da [mm]p[/mm] in der oberen Halbebene liegt, kann man [mm]p = r \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}t}[/mm] mit [mm]t \in (0,\pi)[/mm] ansetzen:
[mm]\arccos(z) + \arccos(-z) = - \operatorname{i} \cdot \left( \log p + \log \left( - \frac{1}{p} \right) \right) = - \operatorname{i} \cdot \left( \log \left( r \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \right) + \log \left( \frac{1}{r} \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}(\pi-t)} \right) \right)[/mm]
Mit [mm]t \in (0,\pi)[/mm] ist auch [mm]\pi - t \in (0,\pi)[/mm]. Es geht also weiter:
[mm]= - \operatorname{i} \cdot \left( \ln r + \operatorname{i}t - \ln r + \operatorname{i}(\pi - t) \right) = - \operatorname{i} \cdot \operatorname{i} \pi = \pi[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Do 28.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Hallo Leopold,
> Ich will die unhöfliche Reaktion von Psychopath auf fred97
> nicht verteidigen. Daß er allerdings in seinem Anliegen,
> einen Beweis für seine Formel zu bekommen, die gegebenen
> Hinweise nicht ausreichend fand, kann ich verstehen.
Tja, vielleicht hätte der Psycho in seiner Ausgangfrage auch mal seinen kenntnisstand mitteilen können ...
Wenn er meine Hinweise nicht ausreichen findet, so kann er das in verbindlicher Weise sagen.
Stattdessen reagiert er wie ein psychopatischer Vollpfosten...
Pardon, aber das musste gesagt sein.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Do 28.01.2016 | | Autor: | Psychopath |
> Tja, vielleicht hätte der Psycho in seiner Ausgangfrage
> auch mal seinen kenntnisstand mitteilen können ...
>
> Wenn er meine Hinweise nicht ausreichen findet, so kann er
> das in verbindlicher Weise sagen.
>
> Stattdessen reagiert er wie ein psychopatischer
> Vollpfosten...
Ich verzeihe dir. Vergebung ist die eine Charaktereigenschaft der Götter und Genies.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Do 28.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich will die unhöfliche Reaktion von Psychopath auf fred97
> nicht verteidigen. Daß er allerdings in seinem Anliegen,
> einen Beweis für seine Formel zu bekommen, die gegebenen
> Hinweise nicht ausreichend fand, kann ich verstehen
Noch was: ich dachte, dieses Forum ist keine Lösungsmaschine und Eigeninitiative ist gefragt ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Do 28.01.2016 | | Autor: | Psychopath |
> [mm]\arccos(z) + \arccos(-z) = - \operatorname{i} \cdot \left( \log p + \log \left( - \frac{1}{p} \right) \right) = - \operatorname{i} \cdot \left( \log \left( r \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \right) + \log \left( \frac{1}{r} \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}(\pi-t)} \right) \right)[/mm]
Hi, erstmal danke für die geniale Lösung. Wenn man im mittleren Term das Logarithmusgesetz anwendet, wäre der Rest der Rechnung (Rücksubstitution) dann eigentlich noch nötig?
-i·log(p [mm] \* \bruch{-1}{p}) [/mm] = -i·log(-1) = -i· i·PI = PI
Gruß
P.S.
Falls da mal jemand das gleiche Problem hat, ich hab da ein Skript zu gefunden:
http://scipp.ucsc.edu/~haber/archives/physics116A10/arc_10.pdf
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Im Prinzip ist es schon dieses Logarithmusgesetz. Nur sollte man beim komplexen Logarithmus vorsichtig sein und den genauen Zweig und Gültigkeitsbereich angeben. Sonst kommt man zu solchen Sachen wie
[mm]0 = \log 1 = \log \left( (-1) \cdot (-1) \right) = \log(-1) + \log(-1) = \pi \operatorname{i} + \pi \operatorname{i} = 2 \pi \operatorname{i}[/mm]
Richtig scheint mir zum Beispiel Folgendes zu sein:
[mm]\log(zw) = \log z + \log w[/mm] mit [mm]\log[/mm] als dem Hauptzweig und [mm]\operatorname{Re}(z), \operatorname{Re}(w)>0[/mm]
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