arctan(x)+arctan(1/x)=... < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Mi 02.12.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo...
Ich habe als Tipp bei einer Aufgabe folgendes!:
arctan(x)+arctan(1/x)=sign(x)*pi/2
...wo ich das gesehen hab hab ich gedacht, das stimmt doch nicht...habs geplottet...stimmt da auch nicht....trotzdem hab ich auch bei google diese Gleichung gefunden...ich kapiers nicht! Ist das jetzt doch richtig? Wenn ja, wieso..?
Christian
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Hallo qsxqsx,
da ist Dein Plot vielleicht falsch angelegt...?
Hier meiner:
[Dateianhang nicht öffentlich]
So, und wie zeigt man das?
Am einfachsten mit einem rechtwinkligen Standard-Dreieck. Die Hypotenuse sei c, die Katheten a und b, ihnen gegenüber die Winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] - also alles wie immer.
Dann ist [mm] \tan{\alpha}=\bruch{a}{b} [/mm] und [mm] \tan{\beta}=\bruch{b}{a}=\bruch{1}{x}
[/mm]
Mithin ist [mm] \arctan{x}+\arctan{\bruch{1}{x}}=\alpha+\beta=90^{\circle}[/mm] [mm]\hat=[/mm] [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Das genügt aber leider nur, um die zu zeigende Gleichung ohne [mm] \sgn{x} [/mm] zu zeigen.
Dafür ist schonmal klar, wie es grundsätzlich geht...
Hier helfen Dir zwei Formeln, die Du z.B. ![[]](/images/popup.gif) fhier findest (ich habe nur die Variable umbenannt):
1) [mm] \tan{(\arcsin{z})}=\bruch{z}{\wurzel{1-z^2}} \quad \gdw \quad \arcsin{z}=\arctan{\bruch{z}{\wurzel{1-z^2}}}
[/mm]
2) [mm] \tan{(\arccos{z})}=\bruch{\wurzel{1-z^2}}{z} \quad \gdw \quad \arccos{z}=\arctan{\bruch{\wurzel{1-z^2}}{z}}
[/mm]
Nun wirst Du wohl irgendwie substiuieren müssen x=f(z) - und welche Funktion von z das ist, steht ja schon da: Du hast allerdings zwei zur Auswahl.
Das müsste doch genug Material sein, damit Du selbst eine Lösung findest, denke ich.
Viel Erfolg dabei!
lg
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Do 03.12.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...Ich werds mir heute Abend nicht mehr genau anschauen...das mit den Winkeln ist mal sicher klar...respektive das arctan(x) + arctan(1/x) für gewisse Bereiche konstant ist! Das ist das was mir Spanish vorkam...
Ja ich habe mehr ein "gekrizel" auf dem TI gehabt...ich glaub der Definitionsbereich beim TI war zu klein...jetzt hab ichs vergrössert, ist immer noch abweichend aber man kann erkennen das es gleich sein könnte...
Danke, reverend^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Für x>0 setze $f(x) =arctan(x)+arctan(1/x)$. Rechne nun nach, dass $f'(x) = 0$ ist für x>0.
Somit ist f auf (0, [mm] \infty) [/mm] konstant, also
$f(x) = f(1) = 2*arctan(1) = 2* [mm] \bruch{\pi}{4}= \bruch{\pi}{2}$ [/mm] für x>0
Für x<0 gehts genauso
FRED
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