arctan x beweisen! < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | arctanh x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] *(\bruch{1+x}{1-x}) [/mm] |
hi
ich soll zeigen das die obige gleichung stimmt...
dazu habe ich folgende formel benuzt:
tanh x = [mm] \bruch{e^x - e^-x}{e^x + e^{-x}}
[/mm]
dann sage ich [mm] x=e^x
[/mm]
was dann nach y umgestellt folgendes ergibt...
y= [mm] \bruch{x^2 -1}{x^2 +1}
[/mm]
damit ich aber den arctanh x bekomme muss ich ja die umkehrfunktion bilden, somit vermtausche ich x und y (bin mir aber nicht sicher ob ich oben erst nach x anstatt nach y hätte auflösen sollen und dann die umkehrfunktion, aber nach x auflösen ist hier finde ich nicht so einfach)
ok wenn ich dann x und y vertausche ergibt sich x= [mm] \bruch{y^2 -1}{y^2 +1}
[/mm]
dass dann aufgelöst ergibt:
[mm] y^2 -xy^2 [/mm] -x -1=0
da häng ich jetzt, die 2 [mm] y^2 [/mm] stören mich..
mfg stargate
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Fr 28.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ungeschickt ist dein [mm] e^x=x
[/mm]
besser [mm] e^x=z, z^2=e^{2x}
[/mm]
Dann wie du weiter:
$ [mm] y=\bruch{z^2 -1}{z^2 +1} [/mm] $ jetzt nicht mehr Namen vertauschen sondern z=f(y) suchen bzw x=f(y)
dann hast du:
[mm] y*z^2-z^2=-(1+y)
[/mm]
[mm] z^2*(y-1)=-(1+y)
[/mm]
jetzt Ruecksubstitution [mm] z^2=e^2x
[/mm]
e^2x=(1+y)/(1-y)
auf beiden Seiten ln und du hast was du willst.
Gruss leduart
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hi
also den schritt mit dem z=f(y) kapier ich noch nicht richtig..
was meinst du da mit "nicht mehr namen vertauschen" ? ich dachte das vertauschen also das x=y und y=x ist muss man machen damit man man von dem obigen tanh x auf arctanh x kommt
wenn du mir den schritt von $ [mm] y=\bruch{z^2 -1}{z^2 +1} [/mm] $ nach $ [mm] y\cdot{}z^2-z^2=-(1+y) [/mm] $ nochmal genauer erklären könntest.
mfg stargate
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Hallo!
> hi
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> also den schritt mit dem z=f(y) kapier ich noch nicht
> richtig..
> was meinst du da mit "nicht mehr namen vertauschen" ? ich
> dachte das vertauschen also das x=y und y=x ist muss man
> machen damit man man von dem obigen tanh x auf arctanh x
> kommt
Das Vertauschen ist dabei doch egal! Das ist doch bloß eine Vereinfachung, damit du dich wieder daran orientieren kannst: Ich muss zurück zu "y = "!
Wenn du aber diese Vertauschung durchführst, machst du deine Substitution im mathematisch korrekten Sinne zunichte, weil dann nicht mehr [mm] e^{x} [/mm] = z gilt, sondern [mm] e^{x} [/mm] = y... Und das ist doof. Deswegen lautete die Anweisung von leduart: Stelle jetzt einfach ohne Umbenennung nach "z = ..." um.
> wenn du mir den schritt von [mm]y=\bruch{z^2 -1}{z^2 +1}[/mm] nach
> [mm]y\cdot{}z^2-z^2=-(1+y)[/mm] nochmal genauer erklären könntest.
>
[mm] $y=\bruch{z^2 -1}{z^2 +1}$
[/mm]
[mm] $\gdw y*(z^{2}+1) [/mm] = [mm] z^{2} [/mm] - 1$
[mm] $\gdw y*z^{2} [/mm] + y = [mm] z^{2} [/mm] - 1$
Und nun alles, was mit z zu tun hat nach links, alles was mit y zu tun hat nach rechts:
[mm] $\gdw y*z^{2} [/mm] - [mm] z^{2} [/mm] = -y - 1$
Nun links [mm] z^{2} [/mm] ausklammern. (Das ist der "Trick", um die Gleichung nach z auflösen zu können!)
[mm] $\gdw z^{2}*(y-1) [/mm] = -(y+1)$
[mm] $\gdw z^{2}= -\bruch{(y+1)}{y-1}$
[/mm]
Stefan.
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hi
ok aber bei $ [mm] \gdw z^{2}= -\bruch{(y+1)}{y-1} [/mm] $
muss ich ja dann so weiter machen:
da [mm] z^2= e^{2x}
[/mm]
steht jetzt da
$ [mm] \gdw e^{2x}= -\bruch{(y+1)}{y-1} [/mm] $
aber jetzt muss ich die umkehrfunktion machen oder ? damit ich von dem tanh x auf arctanh x komme dann ergibt das...
$ [mm] \gdw e^{2y}= -\bruch{(x+1)}{x-1} [/mm] $
wenn ich dass dann umforme komme ich auf $ [mm] \gdw [/mm] y= [mm] \bruch{1}{2}ln\bruch{(x+1)}{1-x} [/mm] $
und das y ist hier jetzt arctanh x
also steht da y=arctanhx=$ [mm] \bruch{1}{2}ln\bruch{(x+1)}{1-x} [/mm] $
womit es bewiesen wäre
mfg stargate
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo stargate!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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hi
also erstmal danke für eure hilfe :)
ich hätte noch ne 2. frage und zwar, hab ich in nem anderen forum den beweis für arccosh x gefunden (http://www.onlinemathe.de/forum/Beweis-von-arcosh-und-arsinh)
dort wird auch einfach der term nach y aufgelöst und einfach die variablen vertauscht.. so wie ich es im ersten post beschrieben habe, für arcosh und arsinh geht das so wunderbar aber wieso funktioniert der rechenweg nicht mit artanh x ?
wenn ich nämlich gleich y und x vertauschen kann anstatt erst nach x aufzulösen ist das viel einfacher..
mfg stargate
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Sa 29.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da die Namen der Variablen nix bedeuten kann man es auch so machen wie du angefangen hast. Nur die Substitution [mm] x=e^x [/mm] war wirklich zu sehr irreführend.
Ich hatte den Eindruck dass du mit x,y und [mm] x=e^x [/mm] durcheinander gekommen warst. deshalb mein Ratschlag.
Gruss leduart
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