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| Aufgabe | | Wie viele Glieder der arithmetischen Folge 24, 22, 20 ... ergeben als Summe -7676? |
Hallo allerseits. Genannte Aufgabe ist das Problem. Die Aufgabe habe ich aus einer alten Matheklausur, die ich gerade am durchrechnen bin. Ich bin folgendermaßen an das Problem heran gegangen:
* Aufstellen einer Summenformel für die betreffende Folge:
allgemein:
[mm] \summe_{k=m}^{n} a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{n+1-m}{2}* (a_{m} [/mm] + [mm] a_{n})
[/mm]
speziell für diesen Fall (mit m=1)
[mm] \summe_{k=1}^{n}26-2*k [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}* (a_{m} [/mm] + [mm] a_{n}) [/mm] = -7676
Da in dieser Gleichung noch das letzte (n-te) Glied der Summenformel fehlt, muss dies bestimmt werden. Nur wie kann ich ich [mm] a_{n} [/mm] bestimmen, wenn n nicht gegeben ist? Hier beißt sich die Katze in den Schwanz. Hat da jemand vielleicht einen Tipp? Besten Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Fr 23.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Daniel,
Du kennst [mm] a_n [/mm] !
[mm] a_n [/mm] = 24 -2*(n-1).
Wenn Du den Term für [mm] a_n [/mm] einsetzt und die entstehende quadratische Gleichung löst, kommst du auf n = 101.
MfG
Heiko
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Hallo Heiko,
könntest du mir erklären, wie du auf oben besagte Formel kommst?
Ich war in der Zwischenzeit auch nicht untätig und habe mich auch damit beschäftigt. Habe etwas ähnliches raus, allerdings sollte n doch Element von N sein. Seltsam...
Habe folgenden Rechenweg beschritten:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 26-2*k = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 26 - [mm] 2*\summe_{k=1}^{n} [/mm] k
= n*26 - 2* [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] = -7676
kürzen:
n*26 - [mm] n^{2} [/mm] + n = -7676
*(-1):
[mm] n^{2} [/mm] + 27*n = 7676
quadratische Ergänzung (+182,25):
[mm] n^{2} [/mm] - 27*n + 182,25 = 7858,25
2. Binomische Formel:
[mm] (n-13,5)^{2} [/mm] = 7858,25
Wurzel ziehen:
n-13,5 = 88,6467
umformen:
n = 102,1467
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Fr 23.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du machst beim Zusammenfassen einen Vorzeichenfehler: schließlich steht vor der Klammer ein Minus:
$n*26 - [mm] 2*\bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] \ = \ -7676$
$n*26 - [mm] (n^2+n) [/mm] \ = \ -7676$
$n*26 - [mm] n^2 [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ n \ = \ -7676$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
nachts sollte ich nichts mehr durchrechnen *g* Vielen Dank für den Hinweis! Habe schon an meiner Methodik gezweifelt ;) Jetzt kommt auch ein vernünftiger Wert raus:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 26-2*k = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 26 - [mm] 2*\summe_{k=1}^{n} [/mm] k $
$ = 26*n - 2* [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] = -7676 $
kürzen:
$ n*26 - [mm] n^{2} [/mm] - n = -7676 $
*(-1):
$ [mm] n^{2} [/mm] + 25*n = 7676 $
quadratische Ergänzung (+156,25):
$ [mm] n^{2} [/mm] - 25*n + 156,25 = 7832,25 $
2. Binomische Formel:
$ [mm] (n-12,5)^{2} [/mm] = 7832,25 $
Wurzel ziehen:
$ n-12,5 = 88,5 $
umformen:
$ n = 101 [mm] \in \IN [/mm] $
PROBE:
$ [mm] \summe_{k=1}^{101} [/mm] 26-2*k = [mm] \bruch{n+1-m}{2} [/mm] * [mm] (a_{m}+a_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{101}{2}*(24-176) [/mm] =-7676 $
=> Aufgabe gelöst! Dank allen Beteiligten!
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