arithmetisches Mittel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Di 17.04.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Merkmal X in einer Gesamtheit vom Umfang n mit arithmetischen Mittel [mm] $\overline{x}$ [/mm] und Standardabweichung s. Das Merkmal Y sei definiert durch: [mm] $y_i [/mm] := [mm] \frac{x_i-\overline{x}}{s}$ [/mm] für i=1...n.
Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel von Y 0 beträgt. |
Mein Ansatz:
[mm] $\overline{y} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \overline{x} \right) \right) [/mm] = ...$
Wie geht's an dieser Stelle nun weiter? Irgendwie soll ja 0 rauskommen...
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Hallo bandchef,
> Gegeben sei ein Merkmal X in einer Gesamtheit vom Umfang n
> mit arithmetischen Mittel [mm]\overline{x}[/mm] und
> Standardabweichung s. Das Merkmal Y sei definiert durch:
> [mm]y_i := \frac{x_i-\overline{x}}{s}[/mm] für i=1...n.
>
> Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel von Y 0
> beträgt.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\overline{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s} \right) = \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \overline{x} \right) \right) = ...[/mm]
>
> Wie geht's an dieser Stelle nun weiter? Irgendwie soll ja 0
> rauskommen...
Spalte den Ausdruck in der grossen Klammer auf:
[mm]\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \overline{x} \right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \overline{x}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 17.04.2012 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \overline{y} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \overline{x} \right) \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \overline{x} \right)$
[/mm]
So, nun kann ich doch wieder das [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] aus der Klammer rausholen weil's ja nicht von i abhängt, oder?
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Hallo bandchef,
> [mm]\overline{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s} \right) = \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \overline{x} \right) \right) = \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \overline{x} \right)[/mm]
>
> So, nun kann ich doch wieder das [mm]\frac{1}{n}[/mm] aus der
> Klammer rausholen weil's ja nicht von i abhängt, oder?
>
Für die zwei erhaltenen Ausdrücke
[mm]\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i, \ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \overline{x}[/mm]
kann auch etwas anderes geschrieben werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 17.04.2012 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i, [/mm] \ [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \overline{x} [/mm] $
Naja, die erste Summe ist doch quasi wieder der arithmetische Mittelwert, oder? Was die zweite Summe sein soll weiß ich nciht...
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Hallo bandchef,
> [mm]\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i, \ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \overline{x}[/mm]
>
> Naja, die erste Summe ist doch quasi wieder der
> arithmetische Mittelwert, oder? Was die zweite Summe sein
Der arithmetische Mittelwert kann wie geschrieben werden?
> soll weiß ich nciht...
Die zweite Summe ist doch die Summe von
i=1 bis n von der Konstanten [mm]\overline{x}[/mm]. Und das ergibt ...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Di 17.04.2012 | | Autor: | bandchef |
Ehrlich gesagt weiß ich es nicht...
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Hallo bandchef,
> Ehrlich gesagt weiß ich es nicht...
Es ist doch
[mm]\summe_{i=1}^{n}\overline{x}=n*\overline{x}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Di 17.04.2012 | | Autor: | bandchef |
Dann gilt also:
[mm] $\overline{y} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \overline{x} \right) \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \overline{x} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i - n \cdot \overline{x} \right)$ [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Di 17.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dann gilt also:
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> [mm]\overline{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s} \right) = \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \overline{x} \right) \right) = \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \overline{x} \right) = \frac{1}{s}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i - n \cdot \overline{x} \right)[/mm]
Nein. Dir ist ein [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] verloren gegangen.
LG Felix
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