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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Di 06.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
| Aufgabe | | Man zeige, das die Menge aller Paare M= ((a,b):a,b [mm] \in\IR \wedge a\not=0 [/mm] ist eine Gruppe bezüglich der Operation (a1,b1) [mm] \odot [/mm] (a2,b2) = (a1a2,a1b2 + b1) |
Ich komme nicht wirklich auf die Abgeschlossenheit und die Assoziatiovität :(
Abgeschlossenheit:
Ich muss ja zeigen, dass es nicht aus der Menge rausfällt....also a1,a2 ungleich 0 sind und b1 und b2 auch reelle Zahlen. Leider finde ich keinen Ansatz. Reelle Zahlen sind ja eigentlich alle Zahlen...ich weiß nur nicht wie ich a1,a2 ungleich 0 zeigen soll.
Assoziativität:
[mm] (a1,b1)\odot((a2,b2)\odot(a3,b3))
[/mm]
Das haben wir als Tipp bekommen..ich weiß leider nicht wie es es verknüpfen soll und wie ich dadurch die Assoziaitivität zeigen soll:(
Vielen Dank im Voraus!
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> Man zeige, das die Menge aller Paare M= [mm] \{(a,b):a,b \in\IR \wedge a\not=0\}
[/mm]
> ist eine Gruppe bezüglich der Operation (a1,b1) [mm]\odot[/mm]
> (a2,b2) = (a1a2,a1b2 + b1)
>
> Ich komme nicht wirklich auf die Abgeschlossenheit und die
> Assoziatiovität :(
> Abgeschlossenheit:
> Ich muss ja zeigen, dass es nicht aus der Menge
> rausfällt....also a1,a2 ungleich 0 sind und b1 und b2 auch
> reelle Zahlen. Leider finde ich keinen Ansatz. Reelle
> Zahlen sind ja eigentlich alle Zahlen...ich weiß nur nicht
> wie ich a1,a2 ungleich 0 zeigen soll.
Hallo,
zu zeigen ist: wenn Du zwei Elemente aus M nimmst und sie verknüpfst, dann kommt wieder ein Element aus M raus.
Das machen wir jetzt mal:
seinen [mm] (a_1, b_1),(a_2, b_2) \in [/mm] M.
Weil sie in M sind, wissen wir von vornherein:
[mm] a_1, b_1,a_2, b_2 [/mm] sind reelle Zahlen,
und [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind beide [mm] \not=0.
[/mm]
Nun verknüpfen wir:
[mm] (a_1,b_1)[/mm] [mm]\odot[/mm] [mm] (a_2,b_2) [/mm] = [mm] (a_1a_2,a_1b_2 [/mm] + [mm] b_1)
[/mm]
Jetzt müssen wir prüfen, ob [mm] (a_1a_2,a_1b_2 [/mm] + [mm] b_1) [/mm] in M ist.
Sind die beiden Komponenten, also [mm] a_1a_2 [/mm] und [mm] a_1b_2 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] reelle Zahlen?
Ist [mm] a_1a_2\not=0? [/mm] Warum?
>
> Assoziativität:
Schauen wir uns erst nochmal an, wie verknüpft wird:
[mm] (\circ, \red{\delta})\odot [/mm] ( [mm] \green{\circ}, \blue{\Delta})=(\circ*\green{\circ}, \circ* \blue{\Delta}+\red{\delta})
[/mm]
> [mm](a1,b1)\odot((a2,\red{b2})\odot(\green{a3},\blue{b3}))[/mm]
[mm] =(a_1,b_1)\odot (a_2\green{a_3}, a_2\blue{b_3}+\red{b_2})
[/mm]
[mm] =(a_1,b_1)\odot (a_2a_3, a_2b_3+b_2)
[/mm]
[mm] =(a_1,\red{b_1})\odot (\green{a_2a_3}, \blue{a_2b_3+b_2})
[/mm]
=...
Danach berechne
[mm] ((a_1,b_1)\odot(a_2,b_2))\odot (a_3, b_3)
[/mm]
=...
und vergleiche, ob die Ergebnisse gleich sind.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 06.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
Vielen Dank, Angela!
Leider ist mir dass alles noch nicht so klar :(
seinen $ [mm] (a_1, b_1),(a_2, b_2) \in [/mm] $ M.
Weil sie in M sind, wissen wir von vornherein:
$ [mm] a_1, b_1,a_2, b_2 [/mm] $ sind reelle Zahlen,
und $ [mm] a_1 [/mm] $ und $ [mm] a_2 [/mm] $ sind beide $ [mm] \not=0. [/mm] $
Nun verknüpfen wir:
$ [mm] (a_1,b_1) [/mm] $ $ [mm] \odot [/mm] $ $ [mm] (a_2,b_2) [/mm] $ = $ [mm] (a_1a_2,a_1b_2 [/mm] $ + $ [mm] b_1) [/mm] $
Jetzt müssen wir prüfen, ob $ [mm] (a_1a_2,a_1b_2 [/mm] $ + $ [mm] b_1) [/mm] $ in M ist.
Sind die beiden Komponenten, also $ [mm] a_1a_2 [/mm] $ und $ [mm] a_1b_2 [/mm] $ + $ [mm] b_1 [/mm] $ reelle Zahlen?
Ist $ [mm] a_1a_2\not=0? [/mm] $ Warum?
Es ist doch schon laut Aufgabenstellung in der Menge oder?
Wir haben bei einem anderen Beispiel : [mm] M=(2^m [/mm] | [mm] m\in \IZ [/mm] die Abgeschlossenheit so gezeigt: m1,m2 [mm] \in \IZ [/mm] 2^m1*2^m2 = 2^(m1+m2) mit m1m2 Element M, da m1 m2 Element von Z.
Kann ich das dann so auf die Aufgabe übertragen?
Assoziativität:
Schauen wir uns erst nochmal an, wie verknüpft wird:
$ [mm] (\circ, \red{\delta})\odot [/mm] $ ( $ [mm] \green{\circ}, \blue{\Delta})=(\circ\cdot{}\green{\circ}, \circ\cdot{} \blue{\Delta}+\red{\delta}) [/mm] $
> $ [mm] (a1,b1)\odot((a2,\red{b2})\odot(\green{a3},\blue{b3})) [/mm] $
$ [mm] =(a_1,b_1)\odot (a_2\green{a_3}, a_2\blue{b_3}+\red{b_2}) [/mm] $
$ [mm] =(a_1,b_1)\odot (a_2a_3, a_2b_3+b_2) [/mm] $
$ [mm] =(a_1,\red{b_1})\odot (\green{a_2a_3}, \blue{a_2b_3+b_2}) [/mm] $
Ich verstehe diese 3 Zeilen nicht :( Was bedeuten die Farben und warum ist die Reihenfolge der Variblen in jeder Reihe gleich? Leider weiß ich auch nicht wie ich das berechnen soll. Assoziativität ist ja (a*b)*c = a* (b*c) nur ich verstehe leider nicht, was für ein Zusammenhang zwischen dem und dem Ansatz, den du mir gegeben hast besteht.
Es tut mir so leid, dass du dir so viel Mühe gegeben hast und ich leider zu dumm bin :( Ich hoffe du verlierst nicht die Geduld mit mir, denn ich versuche es wirklich verstehen.
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> Vielen Dank, Angela!
> Leider ist mir dass alles noch nicht so klar :(
Hallo,
wir versuchen, es zu klären.
Als erstes müssen wir erreichen, daß Dir klar wir, was hier wie verknüpft wird.
Das versuche ich jetzt nocheinmal.
Verknüpft werden Elemente der Menge [mm] M:=\{(a,b): a,b\in \IR \quad und \quad a\not=0\}.
[/mm]
In der Menge M sind Zahlenpaare aus reellen Zahlen, und zwar solche, deren erste Komponente von 0 verschieden ist.
Z.B. sind in M die Zahlenpaare
(5,12), [mm] (-\bruch{3}{7}, \wurzel{2}), [/mm] (-4, 0), [mm] (\pi, [/mm] -1).
In M sind z.B. nicht diese Zahlenpaare: (0,1), (0,-3), [mm] (0,0),(0,\wurzel{17}).
[/mm]
Wie werden nun die Elemente aus M miteinander verknüft?
Mit einer Verknüpfung [mm] \odot, [/mm] welche so definiert ist:
für zwei Zahlenpaare [mm] (a_1, b_1), (a_2, b_2) [/mm] aus M soll sein
[mm] (a_1, b_1)\odot (a_2, b_2):=(a_1a_2, a_1b_2+b_1).
[/mm]
Das Ergebnis der Verknüfung ist also wieder ein Zahlenpaar, welches nach obiger Bauanleitung ersteht.
Dieselbe Bauanleitung nochmal mit farbigen Symbolen:
[mm] (\circ, \red{\delta})\odot( \green{\circ}, \blue{\Delta})=(\circ\cdot{}\green{\circ}, \circ\cdot{} \blue{\Delta}+\red{\delta})
[/mm]
Jetzt verküpfen wir erstmal zum Üben ein paar Zahlenpaare aus M:
(5, [mm] \red{2})\odot( \green{3}, \blue{7})=(5\cdot{}\green{3}, 5\cdot{} \blue{7}+\red{2})=(15, [/mm] 37)
(1, [mm] \red{4})\odot( \green{2}, \blue{8})=(1\cdot{}\green{2}, 1\cdot{} \blue{8}+\red{4})=(2, [/mm] 12)
(13, [mm] \red{-92})\odot( \green{1}, \blue{0})=(13\cdot{}\green{1}, 13\cdot{} \blue{0}+\red{-92})=(13,-92).
[/mm]
Und wenn wir sagen, daß (c,d) und (e,f) Zahlenpaare sind, dann haben wir halt
(c, [mm] \red{d})\odot( \green{e}, \blue{f})=(c\cdot{}\green{e}, c\cdot{} \blue{f}+\red{d}).
[/mm]
Zur Abgeschlossenheit:
gezeigt werden muß: wenn man Zahlenpaare aus M verknüpft, kommen Zahlenpaare aus M heraus.
Woran erkennt man, daß eine Zahlenpaar in M ist?
Die erste Komponente [mm] ist\not=0.
[/mm]
Schau oben in den Zahlenbeispielen? Hat's geklappt? Ist die erste Komponente beim Ergebnis immer [mm] \not=0?
[/mm]
Warum eigentlich?
Du sollst nun ganz allgemein zeigen, daß das stimmt, daß die Verknüpfung [mm] \odot [/mm] auf M abgeschlossen ist.
>
> seien [mm](a_1, b_1),(a_2, b_2) \in[/mm] M.
(Wir nehmen also zwei Elemente aus M)
>
> Weil sie in M sind, wissen wir von vornherein:
> [mm]a_1, b_1,a_2, b_2[/mm] sind reelle Zahlen,
> und [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] sind beide [mm]\not=0.[/mm]
(Weil ja die Menge M so definiert ist)
>
> Nun verknüpfen wir:
>
> [mm](a_1,b_1)[/mm] [mm]\odot[/mm] [mm](a_2,b_2)[/mm] = [mm](a_1a_2,a_1b_2[/mm] + [mm]b_1)[/mm]
(Einfach die Verknüpfungsvorschrift verwendet)
>
> Jetzt müssen wir prüfen, ob [mm](a_1a_2,a_1b_2[/mm] + [mm]b_1)[/mm] in M
> ist.
Ob es also ein Zahlenpaar ist, dessen beide Komponenten reelle Zahlen sind und dessen erste Komponente [mm] \not=0 [/mm] ist.
> Sind die beiden Komponenten, also [mm]a_1a_2[/mm] und [mm]a_1b_2[/mm] + [mm]b_1[/mm]
> reelle Zahlen?
Na? Bedenke, daß [mm] a_1, b_1, a_2, b_2 [/mm] reelle Zahlen sind.
Können dann [mm]a_1a_2[/mm] und [mm]a_1b_2[/mm] + [mm]b_1[/mm] irgendwas anderes sein als reelle Zahlen?
> Ist [mm]a_1a_2\not=0?[/mm] Warum?
Bedenke: weil die beiden Zahlenpaare [mm] (a_1, b_1),(a_2, b_2) [/mm] aus M sind, wissen wir, daß [mm] a_1\not=0 [/mm] und [mm] a_2\not=0.
[/mm]
Kann dann ihr Produkt 0 ergeben?
>
> Es ist doch schon laut Aufgabenstellung in der Menge oder?
Nein. In der Menge sind die beiden Zahlenpaare, die verknüpft werden, und man muß wie oben nachweisen, daß das Ergebnis auch in M ist.
> Wir haben bei einem anderen Beispiel : [mm]M=(2^m[/mm] | [mm]m\in \IZ[/mm]
> die Abgeschlossenheit so gezeigt: m1,m2 [mm]\in \IZ[/mm] 2^m1*2^m2 =
> 2^(m1+m2) mit m1m2 Element M, da m1 m2 Element von Z.
In dieser Menge M sind Potenzen von 2.
Ihr habt zwei Elemente aus M genommen, sie verknüpft und gezeigt, daß das Ergebnis auch in M, also eine Potenz von 2 ist.
> Kann ich das dann so auf die Aufgabe übertragen?
So wie ich's oben vorgemacht habe: zeige, daß die Verknüpfung zweier Elemente aus M wieder ein Element aus M ergibt.
Das ist Abgeschlossenheit.
Jetzt die Assoziativität. "Es ist egal, wie Klammern gesetzt werden".
Diesmal ohne Faben, weil diese tolle Idee eher verwirrt als genützt hat.
Zu zeigen ist hier: wenn man drei Zahlenpaare [mm] (a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3) [/mm] aus M hat, dann ist
[mm] (a_1,b_1)\odot[(a_2,b_2)\odot (a_3, b_3)]=[(a_1,b_1)\odot(a_2,b_2)]\odot (a_3, b_3).
[/mm]
Rechne dazu beide Seiten der Gleichung aus und überzeuge Dich davon, daß die Eergebnisse übereinstimmen.
Los geht's:
[mm] (a_1,b_1)\odot[(a_2,b_2)\odot (a_3, b_3)] [/mm]
[mm] \qquad [/mm] (erst in der Klammer rechnen:)
= [mm] (a_1, b_1)\odot(a_2a_3, a_2b_3+b_2) [/mm]
[mm] \qquad [/mm] (nun diese beiden Zahlenpaare nach Vorschrift verknüpfen:)
[mm] =(a_1*(a_2a_3), a_1*(a_2b_3+b_2)+b_1)
[/mm]
[mm] =(a_1a_2a_3, a_1a_2b_3+a_1b_2+b_1)
[/mm]
Jetzt die andere Seite
[mm] [(a_1,b_1)\odot(a_2,b_2)]\odot (a_3, b_3)
[/mm]
[mm] \qquad [/mm] (erst in der Klammer rechnen:)
=...
[mm] \qquad [/mm] (nun diese beiden Zahlenpaare nach Vorschrift verknüpfen:)
=...
=...
LG Angela
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