aus Ebene + Abstand < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 20.02.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo,
ich versuche gerade die Alalytische Geometrie mit Ebenen durchzunehmen und komme (mal wieder) nicht weiter.
Aufg.: Gegen ist eine Ebene E. Bestimme Gleichungen aller Ebenen, die von der Ebene E den Abstand 2 hat.
Bsp. E: x1 + 2 x2 - 2 x3 = 3
Ich weiß ja, dass der Abstand = zwei ist.
Ich kann auch die HNF anwenden, weiß aber bei dieser Aufgabe nichts, nach was ich die auflösen könnte. Ich kann auch in die Parameterform umwandeln, aber es reicht doch nicht, wenn ich den Stützvektor mal zwei nehme?
Über Hilfe würde ich mich freuen :)
Liebe Grüße
Bärchen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 So 20.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebes Bärchen
Das Stichwort Hessesche Normalform ist schon mal nicht schlecht!
Die Ebenengleichung ist ja so gegeben:
$x+2y-2z=3$
In Hessescher Normalform:
[mm] $\bruch{1}{3}x+\bruch{2}{3}y-\bruch{2}{3}z=1$
[/mm]
Was kann man da herauslesen?
Ich denke, dass der Koordinatenursprung von der Ebene den Abstand 1 hat.
Wenn eine parallesle Ebene zu dieser den Abstand 2 haben soll, dann verschiebe ich diese Ebene einfach um plus oder minus 2 Einheiten vom Nullpunkt weg. Der Nullpunkt muss dann also den Abstand 3 oder 5 haben:
[mm] $\bruch{1}{3}x+\bruch{2}{3}y-\bruch{2}{3}z=3$
[/mm]
oder
[mm] $\bruch{1}{3}x+\bruch{2}{3}y-\bruch{2}{3}z=-1$
[/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 21.02.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Paul,
herzlichen Dank für deine schnelle Antwort. Jetzt verstehe ich das auch :)
Aber ich habe noch eine Frage. Du schreibst von einer Ebene die von der Ebene den Abstand 2 hat. Ist es egal, ob es nach dieser Rechnung sich um eine parallele Ebene oder Gerade handelt?
Kann man überhaupt aus einer Gleichung sofort erkennen (wenn nicht in Parameterform) ob es sich um eine Gerade oder um eine Ebene handelt?
Liebe Grüße
Bärchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mo 21.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Bärchen
Eine Gerade im dreidimensionalen Raum kann man nur in Parameterform darstellen, aber nicht durch eine Koordinatengleichung.
Stellt man eine Gerade in der zweidimensionlen Ebene dar, dann kann man sie analog wie die Ebene im dreidimensionlen Raum in Parameterform und als Koordinatengleichung angeben.
Du sieht also die Parameterform ist "universeller" als die Koordinatengleichung. Allerdings hat die Koordinatengleichung den Vorteil, dass sie "eindeutig(er)" ist, als die Parameterform.
mfG Moudi
|
|
|
|
