aus Ring wird Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mi 14.11.2007 | | Autor: | c.t. |
| Aufgabe | Sei R [mm] \not= [/mm] 0 komm. Ring mit Eins mit der Eigenschaft: [mm] \forall [/mm] p [mm] \in [/mm] R[X]-R [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] R mit p(x)= 0.
Behauptung: R ist ein Körper |
Hallo,
um die Behauptung habe ich bisher nur zwei Stategien gefunden.
Zum einen würde es ja reichen, nachzurechnen, dass es multiplikativ Inverse Elemente gibt. Weil ich hier aber nicht recht weiß, wie ich die Eigenschaft mit den Polynomring einbringen soll, komme ich auf dem Weg nicht zur Lösung.
Alternativ kann man ja noch zeigen, dass das Nullideal in R maximal ist. Da fällt mir aber auch noch nichts weiter zu ein.
Es wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mi 14.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
wie du schon richtig geschrieben hast genügt es zu jedem von null verschiedenen element $a$ aus $R$ ein multiplikativ inverses zu finden. schreibe diese eigenschaft mal in formelen auf und löse die gleichung dann so auf, dass auf einer seite ein null steht. kannst du dies dann mit einem nicht konstanten polynom [mm] $f_a \in [/mm] R[X]$ in verbindung bringen, dessen nullstelle dir das gesuchte inverse liefern würde?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mi 14.11.2007 | | Autor: | c.t. |
also: sei a,b [mm] \in [/mm] R. zu zeigen: ab=1 [mm] \gdw [/mm] ab-1=0
wie soll ich daraus jetzt ein Polynom schreien, (ab-1) als Koeffitient nehmen sicher lich nicht, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mi 14.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> also: sei a,b [mm]\in[/mm] R. zu zeigen: ab=1 [mm]\gdw[/mm] ab-1=0
genau. also zu gegeben $a [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] suchst du ein $b$ mit $ab - 1 = 0$, also eine nulstelle des polynoms [mm] $f_a [/mm] = aX - 1 [mm] \in [/mm] R[X]$. da [mm] $f_a$ [/mm] nicht konstant ist folgt ....
probiere mal das argument zu vervollständigen.
grüße
andreas
|
|
|
|
