www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - Matrizenaxb Orthonormalbasis
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - axb Orthonormalbasis
axb Orthonormalbasis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

axb Orthonormalbasis: Idee
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:25 Di 14.08.2012
Autor: Lonpos

Aufgabe
Seien a,b ein Orthonormalsystem in [mm] \IR^3 [/mm]

Z.Z: [mm] a,b,a\times{b} [/mm] Orthonormalbasis von [mm] \IR^3 [/mm]

Genügt es lediglich zu zeigen, dass [mm] a\times{b} [/mm] Norm 1 hat, oder muss ich auch noch zeigen, dass [mm] (a,b,a\times{b}) [/mm] eine Basis im [mm] \IR^3 [/mm] ist ??

        
Bezug
axb Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Di 14.08.2012
Autor: angela.h.b.


> Seien a,b ein Orthonormalsystem in [mm]\IR^3[/mm]
>  
> Z.Z: [mm]a,b,a\times{b}[/mm] Orthonormalbasis von [mm]\IR^3[/mm]
>  Genügt es lediglich zu zeigen, dass [mm]a\times{b}[/mm] Norm 1
> hat, oder muss ich auch noch zeigen, dass [mm](a,b,a\times{b})[/mm]
> eine Basis im [mm]\IR^3[/mm] ist ??

Hallo,

ich find's schwer, auf Deine Frage zu antworten, denn wir wissen ja nicht, was schon alles dran war.

Prinzipiell müßte man schon noch zeigen, daß [mm] (a,b,a\times [/mm] b) linear unabhängig ist - aber vielleicht habt Ihr auch schon einen Satz, der Euch sagt, daß das der Fall ist.

LG Angela


Bezug
                
Bezug
axb Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Di 14.08.2012
Autor: Lonpos

Gut, also ich denke es wurde noch nicht gezeigt, dass [mm] (a,b,a\times{b}) [/mm] eine Basis im [mm] R^3 [/mm] bildet, dann versuche ich es jetzt.

Ich bin mir jedoch bei der Herangehensweise etwas unsicher, auf welche Art und Weise ist es eleganter:

(1) Direkt zu zeigen, dass a,b linear unabhängig ist genau dann wenn [mm] a,b,a\times{b} [/mm] linear unabhängig ist

(2) Ich zeige zuerst, dass [mm] a\times{b}=0 [/mm] <=> a,b linear abhängig, dann [mm] det(a,b,c)= [/mm] und => Sind a,b linear unabhängig, dann ist [mm] a,b,a\times{b} [/mm] eine pos. orientierte Basis des [mm] R^3 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
axb Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Di 14.08.2012
Autor: angela.h.b.

Hallo,

zeigen willst Du ja

a,b orthonormal ==> [mm] (a,b,a\times [/mm] b) ist linear unabhängig.

Seien also a,b orthonormal und sei

[mm] \lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b [mm] +\nu (a\times [/mm] b)=0.

Jetzt mußt Du "irgendwie" zeigen, wie hieraus folgt, daß die Griechen =0 sind.

LG Angela




Bezug
                                
Bezug
axb Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Di 14.08.2012
Autor: Lonpos

Da a,b ja senkrecht aufeinander stehen sind sie linear unabhängig, ich zeige jetzt also

a,b linear. unab <=> [mm] a,b,a\times{b} [/mm] linear unabhängig

Dies ist ja dasselbe wie:  a,b linear abh. <=> [mm] a,b,a\times{b} [/mm] linear abh.

=> Ist klar, da a,b immer noch linear abh. sind.

<=: [mm] \exists\lambda\in\IR^3\backslash(0,0,0): \lambda_{1}a+\lambda_{2}b+\lambda_{3}a\times{b}=0 [/mm]

=> [mm] \lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=0 [/mm]

=> [mm] \lambda_{3}\|a\times{b}\|^2=0 =>\lambda_{3}\|a\times{b}\|=0 [/mm]

1) [mm] \|a\times{b}\|=0 [/mm] => [mm] a\times{b}=0 [/mm] => [mm] a,b,a\times{b} [/mm] lin. abh.
2) [mm] \lambda_{3}=0 [/mm] => a,b lin. abh.

Passt das so?

@Teufel, hast du irgendwo einen Beweis dieser Behauptung, dass drei orthogonale Vektoren mit Ausnahme des 0-Vektors immer linear unabhängig sind?

Bezug
                                        
Bezug
axb Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Di 14.08.2012
Autor: Teufel

Das gilt sogar für beliebig viele Vektoren.

Seien [mm] $(v_1, \ldots, v_n)$ [/mm] orthogonal und seien alle [mm] v_i \not=0, [/mm] d.h. [mm] $\left=0$ [/mm] für alle [mm] $i\not= [/mm] j$ und [mm] $\left>0$. [/mm]

Sei nun [mm] \alpha_1v_1+\ldots +\alpha_nv_n=0. [/mm] Zu zeigen: [mm] \alpha_1=\ldots =\alpha_n=0. [/mm]

Ansatz:

Für alle i gilt [mm] 0=\left<0, v_i\right>=\left<\alpha_1v_1+\ldots +\alpha_nv_n, v_i\right>=\ldots [/mm] = [mm] \alpha_i\left. [/mm] Den Rest siehst du sicher. :)

Du musst für deinen Fall allerdings noch zeigen, dass [mm] $(a,b,a\times [/mm] b)$ wirklich orthogonal sind, was im Prinzip die Eigenschaft ist, die das Kreuzprodukt erfüllen soll.

Bezug
                                                
Bezug
axb Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Di 14.08.2012
Autor: Lonpos

Hast du dich in deiner letzten Zeile auf meinen Beweis bezogen oder deinen?

Die Orthogonalität von [mm] (a,b,a\times{b}) [/mm] wird doch damit, gezeigt, dass

[mm] \|a\times{b}\|=\|a\|*\|b\|*sin(\phi)=1*1*1=1 [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
axb Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Di 14.08.2012
Autor: fred97


> Hast du dich in deiner letzten Zeile auf meinen Beweis
> bezogen oder deinen?
>  
> Die Orthogonalität von [mm](a,b,a\times{b})[/mm] wird doch damit,
> gezeigt, dass
>  
> [mm]\|a\times{b}\|=\|a\|*\|b\|*sin(\phi)=1*1*1=1[/mm]  


Damit hast Du nur gezeigt, dass [mm] $a\times{b}$ [/mm] normiert ist.

Orthogonalität von [mm](a,b,a\times{b})[/mm]  bedeutet, dass diese 3 Vektoren paarweise senkrecht zueinander sind.

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
axb Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Di 14.08.2012
Autor: Lonpos

Also muss ich für die Orthogonalität, jeden Fall untersuchen

1) <a,b>=0
2) [mm] =0 [/mm]
3) [mm] =0 [/mm]
4) [mm] =0 [/mm]

Angenommen ich definiere die Matrix [mm] A=(a|b|a\times{b}), [/mm] wäre damit auch die Orthogonalität der Matrix gezeigt?

Bezug
                                                                        
Bezug
axb Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:54 Mi 15.08.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Also muss ich für die Orthogonalität, jeden Fall
> untersuchen

  

> 1) <a,b>=0

das musst Du nicht untersuchen, das folgt aus der Voraussetzung - und "geometrisch/anschaulich" wegen [mm] $=\|a\|\,*\,\|b\|\,*\, \cos(\gamma)\,,$ [/mm] wenn [mm] $\gamma$ [/mm] der Winkel "zwischen [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$" [/mm] ist. (Nach Voraussetzung ist hier [mm] $\gamma=\pi/2$ [/mm] (BOGENMAß!!) und damit [mm] $\cos(\gamma)=\cos(\pi/2)=0\,.$) [/mm]

> 2) [mm]=0[/mm]

Das wäre zu beweisen, wenn es noch nicht getan wurde. Tipp:
Siehe []Spatprodukt!

>  3) [mm]=0[/mm]

Das ist Unsinn: [mm] $=\|v\|^2$ [/mm] gilt für jeden Vektor $v [mm] \in \IR^3\,.$ [/mm] Du würdest so also beweisen wollen, dass $a [mm] \times [/mm] b=0 [mm] \in \IR^3\,.$ [/mm]

>  4) [mm]=0[/mm]

Auch das ist nachzurechnen!
  

> Angenommen ich definiere die Matrix [mm]A=(a|b|a\times{b}),[/mm]
> wäre damit auch die Orthogonalität der Matrix gezeigt?

Mit einer Definition willst Du was zeigen? Ne, sicher nicht. Du kannst diese Matrix definieren - und wenn Du zeigst, dass ihre Determinante UNGLEICH [mm] $0\,$ [/mm] ist, dann weißt Du, dass die Vektoren [mm] $a,\,b,\,a \times [/mm] b$ linear unabhängig sind. Mehr aber nicht.

Also, zusammenfassend:
1.) Was wissen wir nach Voraussetzung? Wir wissen
[mm] $$\|a\|=\|b\|=1\,,$$ [/mm]
oder gleichwertig (wegen [mm] $\|v\|=\sqrt{}$ [/mm] und [mm] $r^2=1 \gdw [/mm] r=1$ für $r [mm] \ge [/mm] 0$)
[mm] $$==1\,.$$ [/mm]
Zudem wissen wir [mm] $=0\,.$ [/mm]

2.) Was wollen wir insgesamt nachrechnen?
  a) [mm] $=1\,.$ [/mm] (Bereits bekannt!)
  b) [mm] $=1\,.$ [/mm] (Bereits bekannt!)
  c) $<a [mm] \times b,\,a \times [/mm] b>=1$ (NACHRECHNEN!)

  d) [mm] $=0\,.$ [/mm] (Bereits bekannt!)
  e) [mm] $=0\,. [/mm] $ (NACHRECHNEN!)
  f)  [mm] $=0\,. [/mm] $ (NACHRECHNEN!)

Was wissen wir dann? Wegen a), b), c) enthält die Familie [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ nur Vektoren der Länge 1.
Wegen d), e), f) stehen die Vektoren paarweise senkrecht aufeinander. Also bildet die Familie [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ ein Orthonormalsystem des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm]

Wie Teufel erwähnte, und das ist wirklich leicht nachzurechnen mit seinem Tipp, ist die Familie [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ damit auch schon automatisch linear unabhängig - aber wenn Du Spaß dran hast, kannst du das auch nachrechnen, indem Du zeigst, dass die MATRIX
[mm] $$A:=(a\,|\,b\,|\,a \times [/mm] b)$$
(im Gegensatz zur Familie [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ stehen in der Matrix eigentlich nur die Einträge der entsprechenden Vektoren, also deren "Koordinaten")
erfüllt
[mm] $$\det [/mm] A [mm] \not=0\,.$$ [/mm]

Kann man machen, muss man aber nicht, insbesondere dann nicht, wenn man Teufels vorschlag beherzigt!

Weil [mm] $\dim \IR^3=3$ [/mm] ist, enthält die Familie [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ eine maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Damit ist [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ auch eine Basis.

P.S.
Achja, aus a),b),c) folgt insbesondere, dass $a [mm] \not=0\,,$ [/mm] $b [mm] \not=0$ [/mm] und $a [mm] \times [/mm] b [mm] \not=0\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
axb Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:49 Di 14.08.2012
Autor: fred97

  
> Jetzt mußt Du "irgendwie" zeigen, wie hieraus folgt, daß
> die Griechen =0 sind.

Hallo Angela,

treffen wir uns mal zum griechisch Grillen? Also ohne Kohle!

Gruß FRED


>  
> LG Angela
>  
>
>  


Bezug
                                        
Bezug
axb Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:06 Mi 15.08.2012
Autor: Marcel

Hallo,

>  
> > Jetzt mußt Du "irgendwie" zeigen, wie hieraus folgt, daß
> > die Griechen =0 sind.
>  
> Hallo Angela,
>  
> treffen wir uns mal zum griechisch Grillen? Also ohne
> Kohle!

irgendwie sind wir doch alle abgebrannt ^^

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
axb Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Di 14.08.2012
Autor: Teufel

Hi!

Es gilt der Satz, dass eine Familie orthogonaler Vektoren, die den Nullvektor nicht enthält, auch stets linear unabhängig ist. Wenn du das benutzen darfst.

Bezug
                                
Bezug
axb Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Di 14.08.2012
Autor: fred97


> Hi!
>  
> Es gilt der Satz, dass eine Familie orthogonaler Vektoren
> auch stets linear unabhängig ist.

Das stimmt nicht ! Wenn in dieser Familie der Nullvektor enthalten ist ....

Richtig wirds, wenn man "orthogonal" gegen "orthonormal" austauscht.

FRED


> Wenn du das benutzen
> darfst.


Bezug
                                        
Bezug
axb Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:15 Di 14.08.2012
Autor: Teufel

Danke, berichtigt!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]