b-adische Darstellung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Do 09.11.2017 | | Autor: | Selman |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017 |
Kann mir jemand erklären, wie ich mit der b-adischen Darstellung die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017 errechnen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017
> Kann mir jemand erklären, wie ich mit der b-adischen
> Darstellung die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017
> errechnen kann.
Du meinst also die einhundertste (dezimale) Nachkommastelle
der Zahl
$ \ z\ =\ [mm] \left(\,5\,+\, \sqrt{26}\,\right)^{2017}\quad [/mm] ? $
Naja, so auf den ersten Blick denke ich nur, dass dies mit
elementaren Hilfsmitteln (Papier und Bleistift, Taschenrechner)
und ohne "zündende Ideen" eine recht anspruchsvolle Rechnung
werden könnte.
Nachdem ich aber mit Wolfram-Alpha etwas rumgespielt habe
(liefert zwar in der allgemein zugänglichen Version das Ergebnis
auch nicht), habe ich aber doch wenigstens eine Vermutung:
Die einhundertste Nachkommastelle ist eine Null.
Mittels Wolfram habe ich dieselbe Rechnung einfach mal mit
kleineren, ebenfalls ungeraden Exponenten durchgespielt, etwa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=frac((5%2Bsqrt(26))%5E3)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=frac((5%2Bsqrt(26))%5E17)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=frac((5%2Bsqrt(26))%5E101)
In diesen Beispielen zeigt sich, dass jeweils nach der führenden Null
und dem Dezimalpunkt gerade so viele Nullen folgen, wie der
Exponent angibt. So vermute ich, dass auch in der Dezimalent-
wicklung von
$ [mm] \left(\,5\,+\, \sqrt{26}\,\right)^{2017}$ [/mm]
nach dem Dezimalpunkt zuerst einmal 2017 Nullen und erst dann
andere Dezimalstellen erscheinen. Die einhundertste Nachkommastelle
liegt dann natürlich locker, und zwar schon recht weit vorne in diesem
Nullerblock.
Nun bleibt natürlich noch zu eruieren, wie man dies algebraisch
begründen könnte.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Do 09.11.2017 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017
> Kann mir jemand erklären, wie ich mit der b-adischen
> Darstellung die 100. Nachkommastelle von (5+√26)^2017
> errechnen kann.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
du machst keine Aussagen über das verwendete b. Geht es nur um b=10?
Ich habe keine Lösung, nur ein paar bruchstückhafte Überlegungen.
Wenn man das mit binomischer Formel ausmultipliziert, bekommt man 2018 Summanden. In der Hälfte dieser Fälle hat √26 einen geraden Exponenten und ergibt irgendeine Potenz von 26 (ohne Nachkommastellen).
Nachkommastellen liefern nur die Summanden, bei denen √26 mit ungeradem Exponenten vorkommt. All diese Summanden kann man durch Ausklammern von √26 zusammenfassen zu √26*(Summe von natürlichen Zahlen). Diese natürlichen Zahlen sind Produkte von Potenzen von 5 mit den jeweiligen Binomialkoeffizienten.
Vielleicht gibt es für diesen Fall irgendeine Summenformel, aus der sich eine möglicherweise einfach zu ermittelnde Summe ergibt.
Dann die 100. Nachkommastelle zu ermitteln ist immer noch ein hartes Brot.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Do 09.11.2017 | | Autor: | abakus |
Eine weitere Idee:
√26 kann man mit beliebiger Genauigkeit aus einer Reihenentwicklung mit dem Entwicklungspunkt √25 gewinnen.
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> Kann mir jemand erklären, wie ich mit der b-adischen
> Darstellung die 100. Nachkommastelle von [mm] $\left(5+\sqrt{26}\right)^{2017}$ [/mm]
> errechnen kann.
Hallo Selman
Nach einigem Herumrätseln ist mir nun doch ein Zugang
eingefallen.
Die Basis $\ [mm] 5\,+\,\sqrt{26}$ [/mm] der Potenz hat die Form
$\ a\ =\ [mm] k\,+\,\sqrt{k^2\,+\,1}$ [/mm] (für k = 5)
Nun kann man sich Folgendes klar machen:
(1.) $\ [mm] a^{-1}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{a}\ [/mm] =\ [mm] -\,k\,+\,\sqrt{k^2\,+\,1}$ [/mm] (Stichwort binom. Formel)
(2.) fPart [mm] (a^{-1}) [/mm] = fPart (a)
( mit fPart(x) sei dabei der gebrochene Anteil von x gemeint,
also fPart(x) := x - [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] )
(3.) fPart [mm] (a^{-n}) [/mm] = fPart [mm] (a^n) [/mm] für alle ungeraden n
Im vorliegenden Beispiel mit k=5 und $\ a\ =\ [mm] 5\, +\, \sqrt{26}\ \approx [/mm] 10.099$
und dem ungeraden und sehr großen n = 2017 ergibt sich nun:
$\ [mm] fPart\left[\, \left( 5\,+\,\sqrt{26}\right)^{2017}\right]\ [/mm] =\ fPart [mm] \left[\, \left( 5\,+\,\sqrt{26}\right)^{\,-\,2017}\right]\ [/mm] \ =\ fPart [mm] \left(10.099...^{\,-\,2017}\right)\ [/mm] =\ [mm] 10.099...^{\,-\,2017}\ [/mm] <\ [mm] 10^{\,-\,2017} [/mm] $
Jetzt wird ersichtlich, dass die in meiner vorherigen Mitteilung
geäußerte Vermutung betr. die lange Nullen-Serie in der
Dezimalentwicklung der vorliegenden Potenz zutreffen muss
und also insbesondere die hundertste Nachkommastelle
eine Null sein muss.
Man kann sich natürlich auch noch klar machen, dass die
Zahlenbasis 10 hier keine besondere Rolle gespielt hat.
Analoges wird man also auch bei der Darstellung bezüglich
einer anderen Zahlenbasis b (mit [mm] b\in\IN [/mm] , b > 1) feststellen.
LG , Al-Chwarizmi
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