banachscher fixpunktsatz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Do 25.10.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
in der voraussetzung des satzes steht ja sowas wie:
Sei X ein Banachraum und [mm] D\subset [/mm] X eine abgeschlossene Teilmenge, [mm] T:D\to [/mm] D eine Kontraktion mit Kontraktionsfakter L [mm] \in [/mm] [0;1) dann bla bla bla
was ich nicht ganz verstehe ist folgendes: impliziert nicht schon, dass [mm] T:D\to [/mm] D also [mm] T(D)\subset [/mm] D nicht schon, dass T eine Kontraktion ist? Wenn T(D)=D ist, könntest es im "schlimmsten" fall, wenn man sich D als Teilmenge von [mm] \IR [/mm] vorstellt, die gerade f(x)=y sein und es würde sogar unendliche viele fixpunkte geben, wobei der kontraktionsfaktor dann 1 wäre, aber das nur nebenbei. Wenn man aber verlangt, dass [mm] T(D)\subset [/mm] D mit [mm] T(D)\not= [/mm] D ist, dann hat man doch genau, dass man eine kontraktion hat mit Faktor [mm] \in [/mm] [0;1) oder nicht??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Fr 26.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> hey leute
> was ich nicht ganz verstehe ist folgendes: impliziert nicht
> schon, dass [mm]T:D\to[/mm] D also [mm]T(D)\subset[/mm] D nicht schon, dass T
> eine Kontraktion ist? Wenn T(D)=D ist, könntest es im
> "schlimmsten" fall, wenn man sich D als Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
> vorstellt, die gerade f(x)=y sein und es würde sogar
> unendliche viele fixpunkte geben, wobei der
> kontraktionsfaktor dann 1 wäre, aber das nur nebenbei. Wenn
> man aber verlangt, dass [mm]T(D)\subset[/mm] D mit [mm]T(D)\not=[/mm] D ist,
> dann hat man doch genau, dass man eine kontraktion hat mit
> Faktor [mm]\in[/mm] [0;1) oder nicht??
also da steht in den voraussetzungen ja nirgendwo, dass $T(D)$ eine echte teilmenge von $D$ sein soll. allerdings wäre das auch dann nicht richtig. nimm etwa $X = D = [mm] \mathbb{R}$ [/mm] und die abbildung
[m] T(x) = \begin{cases} 2x & \textrm{ falls } x \in [-1, 1] \\ 2 & \textrm{ falls } x > 1 \\ -2 & \textrm{ falls } x < -1 \end{cases} [/m]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Fr 26.10.2007 | | Autor: | AriR |
in deinem fall ist der faktor 1 da [mm] T(\IR)=\IR
[/mm]
würde man aber voraussetzen, dass [mm] T(\IR) [/mm] eine echte teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist, dann hat man doch einen faktor<1 oder nicht?
oder anders: wenn man sagt, man hat eine abbildung die eine kontraktion ist, dann gilt doch zwingend [mm] T(D)\subset [/mm] D (echte Teilmenge) oder nicht?
Gruß ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Fr 26.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> in deinem fall ist der faktor 1 da [mm]T(\IR)=\IR[/mm]
schau dir meine abbildung nochmal genauer an, da ist [mm] $T(\mathbb{R}) \subsetneq \mathbb{R}$ [/mm] und $T$ ist keine kontraktion. mach dir im zweifel eine skizze!
> oder anders: wenn man sagt, man hat eine abbildung die eine
> kontraktion ist, dann gilt doch zwingend [mm]T(D)\subset[/mm] D
> (echte Teilmenge) oder nicht?
nein. schau dir $T: [mm] \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}; \; [/mm] x [mm] \longmapsto \frac{1}{2}x$ [/mm] an.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:30 Fr 26.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich glaube ich habs. eine kleine verständnis frage noch bitte :D
wenn man eine Abbildung T betrachtet, die eine kontraktion ist und deren Defintionsbreich D eine ECHTE teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist, dann gilt doch zwingend [mm] T(D)\subset [/mm] D oder? :D
und andersrum mein ich genau so. also wenn man wieder eine echte teilmenge D von [mm] \IR [/mm] betrachtet und [mm] T(D)\subset [/mm] D, dann gilt doch [mm] T(D)\subset [/mm] D (echte Teilmenge)
vielen dank schonmal für die hilfen!!
gruß :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Fr 26.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> wenn man eine Abbildung T betrachtet, die eine kontraktion
> ist und deren Defintionsbreich D eine ECHTE teilmenge von
> [mm]\IR[/mm] ist, dann gilt doch zwingend [mm]T(D)\subset[/mm] D oder? :D
also es gilt ja per definitionem, dass $T$ eine selbstabbildung von $D$ ist und somit $T(D) [mm] \subseteq [/mm] D$, aber ich vermute mit dem zeichen [mm] $\subset$ [/mm] meinst du stets echte teilmenge?
dann gilt die aussage meiner meinung nach, wenn $D$ eine abgeschlossene, beschränkte teilmengen von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] mit mindestens zwei elementen ist, wenn mich meine intuition nicht trügt (kannst ja mal probieren das zu beweisen). außerdem gilt die aussage nicht mehr, wenn man eine der bedingungen weglässt, versuche doch jeweils ein gegenbeispiel zu konstruieren.
> und andersrum mein ich genau so. also wenn man wieder eine
> echte teilmenge D von [mm]\IR[/mm] betrachtet und [mm]T(D)\subset[/mm] D,
> dann gilt doch [mm]T(D)\subset[/mm] D (echte Teilmenge)
ist das nicht die gleiche aussage wie oben?
grüße
andreas
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