basen, Jordan-normalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Do 22.05.2008 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | finden sie basen.die diese matrix über C in Jordan-Normalform bringt
[mm] B=\pmat{ -1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 } [/mm] |
hallo ihr lieben!
Jetzt wollt ich diese aufgabe lösen und dafür muss man ja als erstes das charakteristische polynom ausrechen,nur dafür bekomme ich -(x-4)*(
[mm] x^2-2*x+2) [/mm] heraus und für den zweiten teil sind die nullstellen ja im komplexen bereich.wie soll ich also hieraus die eigenwerte ablesen??ich hoffe,dass ich mich nicht ganz blöd irgendwo verrechnet habe und deshalb so ein "doofes" polynom raus kommt.;)
grüße
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> finden sie basen.die diese matrix über C in
> Jordan-Normalform bringt
> [mm]B=\pmat{ -1 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 }[/mm]
> hallo
> ihr lieben!
> Jetzt wollt ich diese aufgabe lösen und dafür muss man ja
> als erstes das charakteristische polynom ausrechen,nur
> dafür bekomme ich -(x-4)*(
> [mm]x^2-2*x+2)[/mm] heraus und für den zweiten teil sind die
> nullstellen ja im komplexen bereich.wie soll ich also
> hieraus die eigenwerte ablesen??ich hoffe,dass ich mich
> nicht ganz blöd irgendwo verrechnet habe und deshalb so ein
> "doofes" polynom raus kommt.;)
Hallo,
da Du die Matrix über [mm] \IC [/mm] betrachten sollst, wären komplexe Nullstellen ja kein Unglück, Du müßtest halt [mm] x^2-2*x+2=0 [/mm] lösen.
Aber ich meine, daß Du Dich verrechnet hast beim charakteristischen Polynom.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 22.05.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela!
vielen dank für deine antwort,ich glaube ich habe mich wirklich verrechnet,weil ich jetzt wo ichs nochmal probiert habe, [mm] -(x-2)^3 [/mm] heraus bekomme.ich hoffe doch, dass das diesmal stimmt,von der form gefällt mir das ergebnis auf jeden fall;).nun habe ich die einzelnen kerne berechnet also:
[mm] ker(B-2*E)^1=(1,0,-1)^t
[/mm]
[mm] ker(B-2*E)^2=(1,0,-1)^t
[/mm]
[mm] ker(B-2*E)^3=\IC^3,da ker(B-2*E)^3=0 [/mm] ?
da der [mm] ker(B-2*E)^3=0 [/mm] hat das größte jordankästchen größe 3.gut dann hätte ich ja schonmal meine JNB [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm] aber wie finde ich eine basis?jetzt habe ich gelsen,dass man einen vektor aus [mm] ker(B-2*E)^3 [/mm] suchen muss,der nicht in [mm] ker(B-2*E)^2 [/mm] enthalten ist,also [mm] zb.:v=(0,1,0)^t [/mm] ---> B*v=(-1,0,1) und [mm] B^2*v=(0,0,0),stimmt [/mm] das so?kann ich daraus jetzt schon eine basis zusammen stellen??
lieben gruß
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> vielen dank für deine antwort,ich glaube ich habe mich
> wirklich verrechnet,weil ich jetzt wo ichs nochmal probiert
> habe, [mm]-(x-2)^3[/mm] heraus bekomme.ich hoffe doch, dass das
> diesmal stimmt,
Hallo,
es deckt sich mit dem, was ich vorhin hatte.
> [mm]ker(B-2*E)^1=(1,0,-1)^t[/mm]
> [mm]ker(B-2*E)^2=(1,0,-1)^t[/mm]
Dieser Kern stimmt nicht. Da fehlt ein Vektor, wenn ich mich nicht sehr täusche.
> [mm]ker(B-2*E)^3=\IC^3,da ker(B-2*E)^3=0[/mm] ?
> da der [mm]ker(B-2*E)^3=0[/mm] hat das größte jordankästchen größe
> 3.gut dann hätte ich ja schonmal meine JNB [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
> aber wie finde ich eine basis?jetzt habe ich gelsen,dass
> man einen vektor aus [mm]ker(B-2*E)^3[/mm] suchen muss,der nicht in
> [mm]ker(B-2*E)^2[/mm] enthalten ist,also [mm]zb.:v=(0,1,0)^t[/mm]
Genau der ist meiner (flüchtigen) Rechnung nach in [mm] ker(B-2*E)^2 [/mm] enthalten, aber im Prinzip stimmt das schon, was Du planst.
Du nimmst einen, der in [mm] ker(B-2*E)^3 [/mm] ist, aber nicht in [mm] ker(B-2*E)^2, [/mm] und dann einen, der in [mm] ker(B-2*E)^2 [/mm] ist, aber nicht in ker(B-2*E), und zum Schluß ergänzt Du mit dem Eigenvektor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Fr 23.05.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela!
danke für deine kontrolle.ist das so [mm] richtig:ker(B-2)^2=(1,0,-1)^t,(1,1,-1)^t,weil [/mm] ja die dimension des kerns 2 ist,deswegen 2 vektoren,oder?ein vektor der in [mm] ker(B-2*E)^3 [/mm] liegt aber nicht in [mm] ker(B-2*E)^2 liegt,zb.:(1,0,1)^t,richtig?ein [/mm] vektor der in [mm] ker(B-2*E)^2 [/mm] aber nicht in [mm] ker(B-2*E)^1 liegt:(1,1,0)^t?? [/mm] jetzt sagtest du,dass ich nur noch mit dem eigenvektor ergänzen muss,der lautet ja [mm] (1,0,-1)^t.
[/mm]
leutet die basis dann [mm] so:(1,0,-1)^t,(1,0,1)^t,(1,1,0)^t??
[/mm]
Ach und,ist der Hauptraum dieser matrix [mm] \IC^3 [/mm] ??
danke und lieben gruß
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Hallo mini111,
> hallo angela!
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> danke für deine kontrolle.ist das so
> [mm]richtig:ker(B-2)^2=(1,0,-1)^t,(1,1,-1)^t,weil[/mm] ja die
> dimension des kerns 2 ist,deswegen 2 vektoren,oder?ein
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> vektor der in [mm]ker(B-2*E)^3[/mm] liegt aber nicht in [mm]ker(B-2*E)^2 liegt,zb.:(1,0,1)^t,richtig?ein[/mm]
> vektor der in [mm]ker(B-2*E)^2[/mm] aber nicht in [mm]ker(B-2*E)^1 liegt:(1,1,0)^t??[/mm]
> jetzt sagtest du,dass ich nur noch mit dem eigenvektor
> ergänzen muss,der lautet ja [mm](1,0,-1)^t.[/mm]
> leutet die basis dann [mm]so:(1,0,-1)^t,(1,0,1)^t,(1,1,0)^t??[/mm]
Leider nein.
Wenn Du einen Vektor [mm]v \in ker\left(B-2*E\right)^3, v \not=0[/mm] wählst, der nicht in [mm]ker\left(B-2*E\right)^2[/mm] und nicht in [mm]ker\left(B-2*E\right)[/mm] liegt, dann ist eine Basis gegeben durch:
[mm]\left(T^{2}v, \ Tv, \ v\right)[/mm]
mit [mm]T:=B-2*E[/mm]
Diese Reihenfolge deshalb, weil Du die JNF so hast:
[mm]\pmat{2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
Die Einsen also oberhalb der Diagonale stehen.
> Ach und,ist der Hauptraum dieser matrix [mm]\IC^3[/mm] ??
>
> danke und lieben gruß
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Fr 23.05.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo mathepower!
danke für die hilfe,war "leider nein" auf alles bezogen was in dem absatz stand oder war es teilweise auch richtig?ist es richtig dass der vektor [mm] v=(1,0,1)^t [/mm] in [mm] ker(B-2*E)^3 [/mm] liegt nicht aber in [mm] ker(B-2*E)^2?wenn [/mm] nicht, verstehe ich nicht warum.andernfalls habe ich als basis dann [mm] v*A,v*A^2,v???
[/mm]
danke und grüße
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Hallo mini111,
> hallo mathepower!
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> danke für die hilfe,war "leider nein" auf alles bezogen was
> in dem absatz stand oder war es teilweise auch richtig?ist
> es richtig dass der vektor [mm]v=(1,0,1)^t[/mm] in [mm]ker(B-2*E)^3[/mm]
> liegt nicht aber in [mm]ker(B-2*E)^2?wenn[/mm] nicht, verstehe ich
> nicht warum.andernfalls habe ich als basis dann
Der Vektor [mm]v=(1,0,1)^t[/mm] ist in [mm]ker(B-2*E)^3[/mm] aber nicht in [mm]ker(B-2*E)^2[/mm]. Ebenso liegt v nicht in [mm]ker(B-2*E)[/mm] .
> [mm]v*A,v*A^2,v???[/mm]
Die Basis sieht dann so aus: [mm]A^{2}*v,A*v,v[/mm]
mit [mm]A:=B-2*E[/mm]
> danke und grüße
Das "Leider nein" bezieht sich auf den zweiten und dritten Vektor in Deiner Basis.
Gruß
MathePower
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