basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Di 08.01.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Vektoren [mm] \overrightarrow{a}_1=(-2,3,1), \overrightarrow{a}_2=(4,1,0), \overrightarrow{a}_3=(1,-1,2) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden. |
Hallo,
aus den drei vektoren habe ich ein lgs gebildet und dieses nach dem gauss-algo gelöst. am ende kann ich somit aglesen, dass der rang des lgs 3 beträgt, was ja mit der dimension des [mm] \IR^3 [/mm] übereinstimmt. kann ich daraus nun schon schließen, dass ein erzeugendensystem vorliegt?
desweiteren kann man ja eine lineare unabhängigkeit der vektoren ablesen, sie bilden folglich ein basis- das dürfte so stimmen, oder?
ich würde nur eben gern wissen, wie ich aus der gleichung (x,y,z)= r*(-2,3,1)+ s*(4,1,0)+ t*(1,-1,2) ableiten kann, dass wirklich der ganze [mm] \IR^3 [/mm] aus linearkombinationen der drei vektoren darzustellen ist??!!- denn dies ist ja dann der beweis dafür, dass ein ezs vorliegt.
gruß und dank!
|
|
| |
|
Hallo Jura,
> Zeigen Sie, dass die Vektoren
> [mm]\overrightarrow{a}_1=(-2,3,1), \overrightarrow{a}_2=(4,1,0), \overrightarrow{a}_3=(1,-1,2)[/mm]
> eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] bilden.
> Hallo,
>
> aus den drei vektoren habe ich ein lgs gebildet und dieses
> nach dem gauss-algo gelöst. am ende kann ich somit aglesen,
> dass der rang des lgs 3 beträgt, was ja mit der dimension
> des [mm]\IR^3[/mm] übereinstimmt. kann ich daraus nun schon
> schließen, dass ein erzeugendensystem vorliegt? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> desweiteren kann man ja eine lineare unabhängigkeit der
> vektoren ablesen, sie bilden folglich ein basis- das dürfte
> so stimmen, oder? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
$n$ linear unabh. Vektoren im [mm] $\IR^n$ [/mm] bilden stets eine Basis für den [mm] $\IR^n$
[/mm]
> ich würde nur eben gern wissen, wie ich aus der gleichung
> (x,y,z)= r*(-2,3,1)+ s*(4,1,0)+ t*(1,-1,2) ableiten kann,
> dass wirklich der ganze [mm]\IR^3[/mm] aus linearkombinationen der
> drei vektoren darzustellen ist??!!- denn dies ist ja dann
> der beweis dafür, dass ein ezs vorliegt.
Löse das LGS und drücke $r, s, t$ jeweils in Abhängigkeit von $x, y, z$ aus
Das LGS gehe am Einfachsten in Matrixschreibweise an
[mm] $\pmat{-2&4&1&\mid&x\\3&1&-1&\mid&y\\1&0&2&\mid&z}$
[/mm]
> gruß und dank!
Gruß zurück
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 08.01.2008 | | Autor: | jura |
ok, dankeschön!
ich erhalte so also die zeilenstufenform
[mm] \pmat{1&0&2&\mid&z\\0&1&-7&\mid&-3z+y\\0&0&33&\mid&14z+x-4y}
[/mm]
daran sieht man im prinzip ja schon irgendwie, dass sich jedes beliebige (x,y,z) aus lk der vektoren darstellen lässt- jedoch weiß ich nicht so richtig, wie ich das nun weiter "mathematisch richtig" aufschreibe- kannst du mir noch weiterhelfen?
und was meinst du, reichen für die beantwortung der aufgabe auch die oben gezeigten zusammenhänge und folgerungen, oder sollte das hier besser auch mit rein?
|
|
|
| |
|
Hallo Jura,
na, du musst die r,s,t angeben, mit denen du den (beliebigen) Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] als LK des "vermeintlichen EZS" darstellst
(r,s,t sind natürlich dann in Abhängigkeit von x,y,z anzugeben)
Angenommen, deine Rechnung stimmt, so steht doch in der letzten Zeile
$33t=14z+x-4y$, also [mm] $t=\frac{14}{33}z+\frac{1}{33}z-\frac{4}{33}y$
[/mm]
Dieses Ergebnis für t kannst du in die Gleichungen der anderen Zeilen einsetzen und so s und r berechnen.
Schlussendlich hast du dann deine Koeffizienten der LK des Vektors [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] allesamt in x,y,z ausgedrückt
Also kannst du - da x,y,z beliebig waren - jeden Vektor aus [mm] \IR^3 [/mm] mit deinen 3 Vektoren linear kombinieren
Also ist es ein EZS für den [mm] \IR^3
[/mm]
Aber die andere Begründung reicht völlig aus und erspart dir eine Menge Rechnerei.
Eine Basis ist ein minimales EZS bzw. eine maximale lin. unabhängige Menge von Vektoren
Mehr als 3 Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] sind IMMER linear ABHÄNGIG, also ist deine Menge mit 3 lin. unabh. Vektoren eine max. Menge lin. unabh. Vektoren, mithin eine Basis
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mi 09.01.2008 | | Autor: | jura |
super, danke!
|
|
|
|
