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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 So 14.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Ergänzen Sie die Vektoren
b_!= (i,i,1) und [mm] b_2 [/mm] (1+i, 1´1-i) zu einer Basis des C-Vektorraums [mm] C^{3} [/mm] |
Hallo,
normalerweise bestimme ich basen durch einfaches Überlegen, hier komme ich so aber nicht weiter.
daher habe ich folgendes LGS aufgestellt:
r* [mm] \vektor{i \\ i \\ 1} [/mm] + s* [mm] \vektor{1+i \\ 1\\ 1-i} [/mm] + t* [mm] \vektor{a \\ b\\ c}= \vektor{0 \\ 0\\0}
[/mm]
Ich habe nun mehr unbekannte als Gleichungen, s gibt aber ja auch mehrere Basisergänzungsmöglichkeiten,
deswegen hab ich einfach c= i gesetzt
um dann herauszubekommen, dass r=-s=-t
und dann hab ich das Gleichungssystem weiter aufgelöst und so die einzelnen komponenten von a=x+iy herausbekommen.
[mm] b_3 [/mm] wäre daher = [mm] \vektor{-1 \\ -1+i\\ i}
[/mm]
ist die Vorgehensweise so richtig?
Ich habe nämlich nun versucht zu überprüfen ob die Vektoren nun alle linear unabhängig sind, aber im komplexen komme ich da mit dem Gaußverfahren nicht so richtig klar.
Hat mir jemand Tips für die Aufgabe,
gibts noch einen anderen Weg?
Danke,
lg
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 So 14.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Ergänzen Sie die Vektoren
> b_!= (i,i,1) und [mm]b_2[/mm] (1+i, 1´1-i) zu einer Basis des
> C-Vektorraums [mm]C^{3}[/mm]
> Hallo,
>
> normalerweise bestimme ich basen durch einfaches
> Überlegen, hier komme ich so aber nicht weiter.
>
> daher habe ich folgendes LGS aufgestellt:
>
> r* [mm]\vektor{i \\ i \\ 1}[/mm] + s* [mm]\vektor{1+i \\ 1\\ 1-i}[/mm] + t*
> [mm]\vektor{a \\ b\\ c}= \vektor{0 \\ 0\\0}[/mm]
>
> Ich habe nun mehr unbekannte als Gleichungen, s gibt aber
> ja auch mehrere Basisergänzungsmöglichkeiten,
> deswegen hab ich einfach c= i gesetzt
>
> um dann herauszubekommen, dass r=-s=-t
> und dann hab ich das Gleichungssystem weiter aufgelöst
> und so die einzelnen komponenten von a=x+iy
> herausbekommen.
>
> [mm]b_3[/mm] wäre daher = [mm]\vektor{-1 \\ -1+i\\ i}[/mm]
>
> ist die Vorgehensweise so richtig?
>
> Ich habe nämlich nun versucht zu überprüfen ob die
> Vektoren nun alle linear unabhängig sind, aber im
> komplexen komme ich da mit dem Gaußverfahren nicht so
> richtig klar.
>
> Hat mir jemand Tips für die Aufgabe,
> gibts noch einen anderen Weg?
>
> Danke,
Hallo Katja,
ich würde a=0 und [mm] c\ne [/mm] 0 ansetzen.
Für a=0 müssen r und s Null sein, während t noch beliebig ist.
Für r=0, s=0 und t ungleich 0 kann dann die dritte Zeile nicht Null werden.
Gruß Abakus
>
> lg
>
> katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 So 14.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hae, nun bin ich etwas confused,
soll ich nicht gerade eine Basis konstruieren mit a,b,c sodass das ganze null wird?
hm kann die frage nicht mehr rückgängig machen...
sorry stand auf dem schlauch,
dafuer dass die vektoren linear unabhängig sind und das muss ja fuer eine basis gelten, müssen r,s,t =0 sein,
und durch deine wahl der basis ist das erzwungen.
danke
nun hab ichs verstanden:)
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