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Hay,
ich habe eine frage, sei A Die Kanonische Standardbasis für [mm] R^n [/mm]
sind dann folgende behauptungen wahr `?
1.) Jede Matrix B der form nxn ist eine Basistransformationsfatrix zur standarbasis A
( das habe ich mir so zusammengereimt aus dem weg der basisveränderung )
was heisst denn nun das ? wenn ich eine koordinate zum sagen wir mal einem 45grad gedrehten koordinatensystem ( basis ? jede achse ist ja quasi eine linear unabhängige komponente )
wenn ich diese durch matrix B jage, erhalte ich dann eine Koordinate zur BASIS A?
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Hallo.
> ich habe eine frage, sei A Die Kanonische Standardbasis für
> [mm]R^n[/mm]
> 1.) Jede Matrix B der form nxn ist eine
> Basistransformationsfatrix zur standarbasis A
> ( das habe ich mir so zusammengereimt aus dem weg der
> basisveränderung )
Diese Aussage ist leider nicht wahr.
Die Multiplikation mit Matrix B ist ja die Anwendung einer linearen Abbildung, insbesondere für deine Basiselemente gilt dann, daß die Bilder der Basiselemente nur dann selbst wieder eine Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] sind, wenn die lineare Abbildung, die Du anwendest, bijektiv ist.
Das ist wiederum, wie man sich leicht überlegen kann, genau dann der Fall, wenn die Matrix B invertierbar ist.
Gruß,
Christian
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ich lade einfach mal die aufgabe hoch, da steht naemlich drinn was icvh meine ...
in dem bild steht jas, das jede matrix eine basistransformation zu der kanonischen standardbasis ist ...
was hat das denn nun konkret zu bedeutn ?
[Externes Bild https://matheraum.de/uploads/forum/00053635/forum-i00053635-n001.png]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Do 24.03.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
leider steht da nicht, was du meinst - jedenfalls erkenne ich es daraus nicht !
In deinem ersten Post sagt du :
"sei A Die Kanonische Standardbasis für $ [mm] \IR^n [/mm] $ "
In deinem Bild ist A aber eine Abbildung bezüglich der Basis C
diese Abbildung wird mithilfe der beiden Transformationsmatrizen umgeformt zu (derselben) Abbildung aber bezüglich der Basis B.
Ich erkenne darin auch keine Aufgabe - höchstens die neue Matrix auszurechnen - dazu musst du, wie im Bild beschrieben, nur eine Inverse berechnen und danach das Produckt von drei Matrizen ausrechnen (wenn A gegeben ist.)
Also : Aus dem Bild wird leider nicht klar, welches Problem du hast - könntest du es vielleicht nochmal anders formulieren ?
[Wie Christian schon sagte: nicht jede n*n Matrix ist eine TrafoMatrix - sie muss nämlich zusätzlich noch "nicht singulär" sein - bzw. "invertierbar"]
Übrigens gibt es auch einen sehr guten Artikel zu ![[]](/images/popup.gif) Transformationsmatrizen - falls du dort deine Antwort schon finden solltest.
viele Grüße
DaMenge
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hallo damenge,
du solltest als detektiv arbeiten, deine schlussfolgerungen was ich wohl fuer eine frage gestellt habe waren, trotz der spärlichen infos die ich gegeben habe alle richtig...
also, nun noch einmal meine frage,
ein vektor (x,y) bezueglich einer basis B=(v1,v2 )
z.b. [mm] v=\vektor{x \\ y}
[/mm]
basis
[mm] v1=\vektor{1 \\ 0} v2=\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
so, nun habe ich IRGENDEINE MATRIX,
die ich nun als A bezeichnen moechte,
diese matrix soll die darstellende matrix einer funktion f sein,
also f: [mm] R^2 \to R^2 [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] xA
so, was ist nun hier wie in was fuer einer basis dargestellt,
der vektor v kann ja nun dargestellt werden aus linearkombination mit der basis B
aber genausogut kann ich diesen vektor auch zu beliebigen anderen basen darstellen :
basis [mm] B_2 v1=\vektor{0 \\ 1} v2=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
also, das hilft mir nicht weiter, wenn ich nun diesen vektor v durch die funktion f jage, erhalte ich eine neue position,
zu was fuer einer basis ist die position dann ? sind das dann standardbasis werte oder wie oder was ?
ich verstehe nicht, was ein basiswechsel (von A zur Basis B ) nach ( A zur Basis B2 ) nun bedeutet, bzw. die Matrix A,
die veraendert doch dann komplettt ihr bild, oder sehe ich das falsch ? und vor allen dingen zu was fuer einer basis ist A denn dargestellt, ich mache mir doch keine gedanken ueber die basis wenn ich eine Darstellende matrix erstelle, ich erstelle die DM doch nur anhand der lineartransformationen der einzelnen eingabe vektor-skalare,
also, erhellt mich, und erklaert mir mal was nun ein basiswechsel bedeutet,
ich verste das ich jeden vektor des [mm] R^2 [/mm] darstellen kann mit beliebigen basen, ich verstehe auch, das eine basis, orthonormal ist, wenn ihre vektoren im rechten winkel aufeinanderstehen, also kann ich quasi das Koordinatensystem um den nullpunkt drehen, schoen und gut, aber wann wird ein vektor [mm] v=\vektor{x \\ y} [/mm] zu einer basis dargestellt, und woran sehe ich das v nun nicht die kanonische basis zugrundeliegen hat, sondern quasi irgendeine gedrehte koordinatensystem
fragen ueber fragen, danke fuer ihre zeit !
so, und nun lese ich mir mal die transformationsmatrizendefinition durch, das ist glaube ich echt das was ich wissen will ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Do 24.03.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hey,
jeztzt glaube ich dein Problem zu erkennen.
Dein Beispiel im ersaten Teil ist auch wunderbar gewählt um zu demonstrieren, dass du aus A eine andere Matrix machen musst, wenn du die zugrunde liegende Basis wechselt (in deinem Fall einfach die Komponenten x und y vertauschen)
Also nehmen wir statt irgend einer Matrix mal die Matrix $ [mm] \pmat{2&0\\0&3} [/mm] $ , d.h. aus $ [mm] v=\pmat{x\\y} [/mm] $ wird $ [mm] v'=\pmat{2x\\3y} [/mm] $
Das soll mal unsere Abbildung A sein (bzgl Standardbasis).
Dein Basiswechsel soll jetzt die Komponenten vertauschen (reihenfolge der Standardbasis vertauscht).
d.h. wenn wir denselben Vektor v nur in neuer Basis reinstecken muss auch das selbe Bild v' nur in neuer Darstellung rauskommen !!
also stecken wir v bzgl. neuer Basis rein, also $ [mm] \pmat{y\\x} [/mm] $ jetzt suchen wir eine Matrix, die uns $ [mm] \pmat{3y\\2x} [/mm] $ zurück liefert.
Dies ist offensichtlich $ [mm] \pmat{3&0\\0&2} [/mm] $
So hat sich A also geändert nur weil wir die Basis geändert haben - die Bilder der Vektoren sind ja noch die selben - nur eben in anderer Darstellung.
Der Trick ist nun im Allgemeinen die Transformationsmatrizen zu benutzen, d.h. man steckt $ [mm] \pmat{y\\x} [/mm] $ rein wandelt diesen mit einer ersten TrafoMatrix um in die alte Basis also zu $ [mm] \pmat{x\\y} [/mm] $
Dann wendet man A darauf an (wohlgemerkt: A*v nicht etwa v*A)
und dann wandelt man das Ergebnis mit einer zweiten TrafoMatrix wieder in die neue Basis zurück.
Die beiden TrafoMatrizen sind natürlich zueinander invers, denn sie sind als Abbildungen gerade ihre jeweiligen Inversen.
Und eine TrafoMatrix ist besonders einfach : nämlich von neuer Basis in die alte (wenn man die neue Basis in der Darstellung der alten gegeben hat)
denn wenn ich (1,0) der neuen Basis in die TrafoMatrix reinstecke muss das Bild (also in alter Basis) herauskommen und das kennen wir schon.
und das Bild des ersten Basisvektors steht in der ersten SPALTE - also sind die Spalten der TrafoMatrix gerade die Koordinatendarstellung der neuen Basis bzgl der alten. Das währe also die rechte TrafoMatrix (die man zuerst auf $ [mm] \pmat{y\\x} [/mm] $ anwendet)
Die andere TrafoMatrix ist gerade die Inverse dazu...
Hoffe, dass ich damit ungefähr erfasst habe, was du meinst und dass ich wenig Fehler gemacht habe - muss nämlich jetzt los - also lese ich frühestens morgen weiter^^
viele Grüße
DaMenge
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> Hey,
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> jeztzt glaube ich dein Problem zu erkennen.
> Dein Beispiel im ersaten Teil ist auch wunderbar gewählt
> um zu demonstrieren, dass du aus A eine andere Matrix
> machen musst, wenn du die zugrunde liegende Basis wechselt
> (in deinem Fall einfach die Komponenten x und y
> vertauschen)
>
> Also nehmen wir statt irgend einer Matrix mal die Matrix
> [mm]\pmat{2&0\\0&3}[/mm] , d.h. aus [mm]v=\pmat{x\\y}[/mm] wird
> [mm]v'=\pmat{2x\\3y}[/mm]
> Das soll mal unsere Abbildung A sein (bzgl
> Standardbasis).
>
> Dein Basiswechsel soll jetzt die Komponenten vertauschen
> (reihenfolge der Standardbasis vertauscht).
>
> d.h. wenn wir denselben Vektor v nur in neuer Basis
> reinstecken muss auch das selbe Bild v' nur in neuer
> Darstellung rauskommen !!
>
> also stecken wir v bzgl. neuer Basis rein, also [mm]\pmat{y\\x}[/mm]
> jetzt suchen wir eine Matrix, die uns [mm]\pmat{3y\\2x}[/mm] zurück
> liefert.
> Dies ist offensichtlich [mm]\pmat{3&0\\0&2}[/mm]
> So hat sich A also geändert nur weil wir die Basis
> geändert haben - die Bilder der Vektoren sind ja noch die
> selben - nur eben in anderer Darstellung.
>
was ist mit :
[mm]\pmat{x\\y}\pmat{0&2\\3&0}=\pmat{3y\\2x}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 25.03.2005 | | Autor: | DaMenge |
> was ist mit :
>
> [mm]\pmat{x\\y}\pmat{0&2\\3&0}=\pmat{3y\\2x}[/mm]
Schau dir mal ganz genau die Definition der Matrixmultiplikation an!
Deine linke Seite ist noch nicht mal definiert !
Man muss von rechts multiplizieren !
viele Grüße
DaMenge
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