bayes mit mehreren Messungen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:49 Mo 21.11.2011 | | Autor: | magicus |
| Aufgabe | Ein Roboter kann 10 mögliche Zustände haben [mm] x_1=1 [/mm] ... [mm] x_{10}=10 [/mm] und hat einen Sensor der den Zustand z wiedergibt. der Zustand kann mit 90% Wahrscheinlichkeit richtig wieder gegeben werden, mit 10% Wahrscheinlichkeit kann ein falscher Zustand gegeben werden mit gleichmäßiger Verteilung.
a) errechne P(x=5|z=5)
b) errechne P(x=4|z=5)
c)bei einer zweiten Messung des Zustandes gibt der Sensor z=5 an. Errechne die neuen Wahrscheinlichkeiten. |
erstens eine Überprüfung ob ich die richtige Aufteilung habe, 2. vA die Aufgabe c, denn da bin ich mir nicht 100%ig sicher.
also bei a habe ich Bayes zu gepasst:
P(x|z) = [mm] \frac{P(z|x)*P(x)}{P(z|x)*P(x) + P(z| \lnot x) * P(\lnot x)}
[/mm]
wobei
P(z|x) = 90% richtige Messung des Sensors = 0.9
P(x) = 10% Chance in zustand 5 zu sein = 0.1
P(z| [mm] \lnot [/mm] x) = 10% falsche Messung des Sensors = 0.1
[mm] P(\lnot [/mm] x) = 90% Chance nicht in zustand 5 zu sein = 0.9
also:
[mm] \frac{0.9*0.1}{0.9*0.1 + 0.1*0.9} [/mm] = 0.5
hier bin ich mir nicht sicher ob P(z | [mm] \lnot [/mm] x) nicht die 0.1 verteilt auf die neun falschen Zustände sein muss, also 0.1 oder 0.1/9 aber ich denke ich hab's richtig begriffen.
bei der 2. Teilaufgabe ist es dann ja eigentlich (obwohl ich das Gefühl nicht los werde das ich wenn nicht bei der ersten so zumindest bei der 2. Aufgabe davon ausgehen muss das die gleichmäßige Verteilung in den vom Sensor falsch gegebenen 10% mit einrechnen muss):
P(z|x) = 10% falsche Messung des Sensors = 0.1
P(x) = 10% Chance in zustand 4 zu sein = 0.1
P(z| [mm] \lnot [/mm] x) = 90% richtige Messung des Sensors = 0.9
[mm] P(\lnot [/mm] x) = 90% Chance nicht in zustand 4 zu sein = 0.9
also
[mm] \frac{0.1*0.1}{0.1*0.1 + 0.9*0.9} [/mm] = 0.01
wenn's soweit richtig war dann müsste doch die dritte Teilaufgabe einfach das einfüllen der 1. und 2. nochmal in Bayes sein (die Formel die ich finden konnte lautet:
[mm] P(x|z_1,z_2) [/mm] = [mm] \frac{P(z_1|x,z_2)*P(x|z_2)}{P(z_1|z_2)}
[/mm]
wobei eigentlich doch gilt das
[mm] P(z_1|x,z_2) [/mm] = [mm] \frac{P(x,z_2|z_1)*P(z_1)}{P(x,z_2)} [/mm] = [mm] \frac{0.5*0.9*0.9}{0.5} [/mm] = 0.81
[mm] P(x|z_2) [/mm] = [mm] P(x|z_1) [/mm] = 0.5 (für a) da es die gleiche Messung ist.
[mm] P(z_1|z_2) [/mm] müsste demnach 0.9*0.9 = 0.81 sein also insgesamt:
also im ganzen (für a):
[mm] P(x|z_1,z_2) [/mm] = [mm] \frac{0.81*0.5}{0.81} [/mm] = 0.5
wobei das nicht stimmen kann da ja die Wahrscheinlichkeit größer werden müsste da man 2 Messungen hat die die Annahme sicherer machen. Ich denke ich müsste eine Formel andere Formel anwenden, aber welche?
Vielen dank im Vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 25.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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