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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 05.06.2005 | | Autor: | biersen |
hi,
also es ist etwas her seitdem wir das gemacht haben mit der geometrie, daher habe ich etwas schwierigkeiten mich da wieder reinzuversetzen.
es geht um die berechnung des volumens beim geraden kreiskegel
die formel lautet ja: v= 1/3 x [mm] \pi [/mm] x r² x h
so nun die frage wofür steht nochmal das "1/3"???
danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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also:
Ich beschreibe zunächst einfach die Herleitung für die Formel der Pyramide: V=1/3*G*h
für den Kegel muss ja dann nur noch für G [mm] \pi*r² [/mm] eingesetzt werden.
zunächst unterteilt man die Pyramide in unendlich viele Scheiben, die alle die gleiche Höhe besitzen [mm] (\Delta [/mm] h)
n=Anzahl der Scheiben
G=Grundfläche
[mm] G_{n}=die [/mm] Grundfläche der n-ten Scheibe
nach dem Strahlensatz gilt:
(n* [mm] \Delta [/mm] h)/h = [mm] G_{n} [/mm] /G
[mm] G_{n}= [/mm] (n* [mm] \Delta [/mm] h)/h * G
[mm] V_{ges}= [/mm] (1* [mm] \Delta [/mm] h)/h * [mm] G*\Delta [/mm] h+(2* [mm] \Delta [/mm] h)/h * [mm] G*\Delta [/mm] h+...+(n* [mm] \Delta [/mm] h)/h * [mm] G*\Delta [/mm] h
nun ausklammern und limes bilden
[mm] V_{ges}= \limes_{n\rightarrow\infty} G*\Delta h^{3}/h² [/mm] * (1²+2²+..+n²)
Def.:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] n²= ((n+1)*(2n+1)*n)/6
[mm] V_{ges}=\limes_{n\rightarrow\infty} G*\Delta h^{3}/h²* [/mm] ((n+1)*(2n+1)*n)/6
Es ist [mm] \Delta [/mm] h = h/n
[mm] V_{ges}=\limes_{n\rightarrow\infty} G*(h/n)^{3}/h²* [/mm] ((n+1)*(2n+1)*n)/6
jetzt alle n kürzen
[mm] V_{ges}=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] G*h* ((1+1/n)*(2+1/n)*1)/6
bildet man nun den limes gehen alle 1/n gegen null, d.h.:
[mm] V_{ges}=G*h* [/mm] (1*2*1)/6
[mm] V_{ges}=G*h*1/3
[/mm]
ich hoffe es ist zu verstehen ;)
Übrigens: dieser Weg ist wie die Bildung eines integrals. Die Lösung ist eine Art Stammfunktion
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