bedingte Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 So 15.03.2015 | | Autor: | kalor |
Hallo
Ich habe Probleme bedingte Wahrscheinlichkeiten konkret zu berechnen. Vor allem, wenn wir keine diskrete Zufallsvariable haben.
Hier ist ein Beispiel: Sie [mm] $f(x)=2x^2$ [/mm] und [mm] $g(x)=\begin{cases} 2 &\mbox{für } x \in[0,\frac{1}{2}) \\
x & \mbox{für} x \in [\frac{1}{2},1]. \end{cases}$ [/mm] wobei der Wahrscheinlichkeitsraum [mm]\Omega = [0,1][/mm] mit dem Lebesguemass.
Ich bin nun daran interessiert $E[f|g]$ zu berechnen. Wenn $g$ auch auf [mm] $[\frac{1}{2},1]$ [/mm] diskret wäre, hätte ich keine Probleme. Dann könnte ich einfach auf alle mögliche Werte von $g$ "bedingen". Aber da es nun keine diskrete Zufallsvariable mehr ist, weiss ich nicht, wie ich diesen bedingten Erwartungswert berechnen soll.
Danke für die Hilfe!!
kaloR
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Hallo kalor,
> Ich habe Probleme bedingte Wahrscheinlichkeiten konkret zu
> berechnen. Vor allem, wenn wir keine diskrete
> Zufallsvariable haben.
>
> Hier ist ein Beispiel: Sie [mm]$f(x)=2x^2$[/mm] und
> [mm]$g(x)=\begin{cases} 2 &\mbox{für } x \in[0,\frac{1}{2}) \\
x & \mbox{für} x \in [\frac{1}{2},1]. \end{cases}$[/mm]
> wobei der Wahrscheinlichkeitsraum [mm]\Omega = [0,1][/mm] mit dem
> Lebesguemass.
>
> Ich bin nun daran interessiert [mm]E[f|g][/mm] zu berechnen.
Ich nehme an, du meinst hier E[f(X)|g(X)], wobei $X [mm] \sim [/mm] U[0,1]$ (entspricht W-Raum $[0,1]$ mit Lebesgue-Maß).
Folgende Idee:
Nennen wir kurz $Y := f(X)$, $Z := g(X)$. Du kannst versuchen, zunächst mit Messbarkeitsaussagen zu begründen, dass der bedingte Erwartungswert eine bestimmte Form hat:
Da $E[Y|Z]$ $Z$-messbar ist, können wir schreiben:
E[Y|Z] = [mm] \begin{cases}A(Z), & Z = 2\\
B(Z), & Z < 2\end{cases}.
[/mm]
1) Kannst du begründen und berechnen, was $A(Z)$ ist? (Nutze die Definition des bedingten Erwartungswerts, [mm] $\inf_{F}Y \dif \IP [/mm] = [mm] \int_{F}E[Y|Z] \dif \IP$ [/mm] für $F [mm] \in \sigma(Z)$ [/mm] (*).)
2) Kannst du heuristisch argumentieren, was $B(Z)$ ist?
3) Versuche, die Aussage 2 erneut mit (*) zu verifizieren.
Viele Grüße,
Stefan
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