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| Aufgabe | Im Standort A eines Lampenwerkes werden 50% der Produktion erstellt, an den Standorten B und C jeweils 25%. Der Anteil der fehlerhaften Lampen beträgt am Standort A 3%, am Standort B 4% und am Standort C 5%. Die Lampen kommen vor der Auslieferung in eine zentrale Endkontrolle. MIt einer Wahrscheinlichkeit von 95% werden defekte Lampen erkannt. MIt einer Wahrscheinlichkeit von 3% fehlerfreie Lampen fälschlich als defekt eingestuft.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe aus Werk B stammt, wenn sie bei der Endkontrolle als defekt eingestuft wird?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe defekt ist, wenn sie bei der Endkontrolle als defekt eingestuft wurde?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe fehlerfrei ist, wenn sie bei der Endkontrolle als fehlerfrei eingestuft wurde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo! Ich brauche eure Hilfe. Ich finde einfach keinen Einstieg in die Aufgabe. Ich weiß nicht wie ich die angehen soll, mit welcher Formel...
Nur ein Ergebniss bringt mich nicht weiter - ich wills kapieren, daher wäre ich für einen erläuterten Lösungsweg dankbar, der mir auf die Sprünge hilft. DANKE!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Bin mir da auch nicht so sicher. Ist das Ergebnis für a) ca. 25,89%?
Ich habe es mit einem einfach Baumdiagramm gemacht. Die ersten 3 Zweige führen zu A, B und C, und von den 3 Sachen jeweils 2 Zweige ab zu "defekt" und "nicht defekt" und von jedem dieser Zweige geht nochmal ein Zweig runter zu "als defekt erkannt".
Dann addierst du die Wahrscheinlichkeiten aller Zweige auf und erhälst somit die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe als fehlerhaft eingestuft wird.
Bei der Formel [mm] P(A|B)=\bruch{P(A \cap B)}{P(B)} [/mm] wäre das also P(B).
P(A [mm] \cap [/mm] B) erhälst du, indem du einfach die Wahrscheinlichkeiten der Zweige von Fabrik B addierst.
So bin ich zu meinem Ergebnis gekommen... wenn das stimmen sollte, dann kannst du mir alles glauben, was ich geschrieben habe ;)
Mit dem Diagramm kannst du dann auch übrigens bequem b) und c) lösen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Danke für die Antwort - aber ganz ralle ich das noch immer net...
Also, die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass eine defekte Lampe hergestellt wird, liegt nach meinen Berechnungen bei 3,75%
(Werk A) (Werk B) (Werk C)
p = 0,5*0,03 + 0,25*0,04 + 0,25*0,05
= 0,0375 = 3,75%
D.h. der "Rest" der Produktion (100%-3,75% =96,25%) sind heile.
Als defekt eingestuft werden nun 95% der wirklich defekten und 3% der eigentlich heilen Lampen.
= 0,95*0,0375 + 0,03*(1 - 0,0375)
= 0,035625 + 0,03*0,9625
= 0,0645 = 6,45%
Also werden 6,45% aller hergestellten Lampen bei der Endkontrolle als (angeblich oder tatsächlich) defekt aussortiert.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Lampe wirklich defekt ist, liegt demnach bei 55,23% (gefundene tatsächlich defekte : alleaussortierten Lampen).
Ebenso habe ich ausgerechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe, die das Werk als heil verlässt auch tatsächlich fehlerfrei ist, bei 99,8% liegt. (alle heilen, die das Werk verlassen : alle Lampen, die das Werk verlassen).
Aber wir komme ich jetzt auf die Lösung für Frage b???
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein als kaputt deklariertes Stück aus Werk B stammt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Auf 6,45% bin ich auch gekommen. Zu 6,45% wird eine Lampe also als Defekt angezeigt.
Aber ich würde sagen, dass du jetzt in den Zähler einfach nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten des Zweiges mit B am Anfang schreiben musst. Ob die Lampe jetzt kaputt ist, oder nicht, ist bei a) ja egal.
Im Zähler also: 0,25*0,04*0,95+0,25*0,96*0,03 und das dann durch die 0,0645 teilen.
Bei b) und c) habe ich das selbe raus.
Teufel
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Dass wir die selben Ergebnisse haben, ist ja schonmal gut, dann habe ich also scheinbar den überwiegenden Teil der Aufgabe verstanden - oder wir liegen beide falsch  ))
Danke für Deine Hilfe!!!
Auf die Gefahr hin, dass ich nerve, aber nochmal eine Rückfrage zu b):
Wenn ich bei b) folgendes berechne:
0,25*0,04*0,95 + 0,25*0,96*0,03 geteilt durch 0,0645
dann bekomme ich da 2,589 raus.
Die Zahl muss doch aber zwischen 0 und 1 liegen, oder nicht???
Irgendwie ist mir das noch immer nicht ganz einleuchtend....hhhmmm
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Di 22.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Wenn sie defekt ist, dann ist sie das mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5*0,03*0,95+0,25*0,04*0,95+0,25*0,05*0,95
1. Faktor gibt immer an, von wo die Lampe kommt, der 2. Faktor zu welchem Anteil Lampen kaputt sind und der 3. nur, dass die kaputte Lampe erkannt wird.
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