bedingte Wahrscheinlichkeit? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Di 27.11.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | Guten Tag! Die Aufgabe:
Aus dem Tumorgewebe eines Patienten werden 5000 Zellen entnommen. Die Chemotherapie gilt als erfolgreich $E$, wenn [mm] $\leq [/mm] 5$ dieser Zellen noch teilungsfähig sind und als fehlgeschlagen $F$, wenn sich [mm] $\geq [/mm] 25$ der Zellen noch teilen können.
Im Labor werden stichprobenartig 10 der 5000 Zellen untersucht und eine weitere Chemotherapie durchgeführt, wenn mindestens 1 dieser 10 Zellen noch teilungsfähig ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach einer erfolgreichen Chemotherapie eine zweite durchgeführt wird? |
Muss ich jetzt zuerst die W'keit ausrechnen, dass [mm] $k\in \{0,\dots 5\} [/mm] Zellen noch teilungsfähig sind? Und dann?
Könnt ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Di 27.11.2012 | | Autor: | hippias |
Es muss eine Irrtumswahrscheinlichkeit bestimmt werden: Erfolgreiche CT heisst hier, dass hoechstens $5$ von $5000$ Tumorzellen noch teilungsfaehig sind. Der Fall der ueberfluessigen zweiten CT tritt ein, wenn in der Stichprobe von $10$ Zellen mindestens $1$ teilungsfaeige Zelle gefunden wird.
Es bezeichne also $X$ die Anzahl der teilungsfaehigen Tumorzellen in der Gesamtheit, $Y$ die Anzahl in der Stichprobe. Dann musst Du [mm] $P_{X\leq 5}(Y\geq [/mm] 1)$ berechnen. Das wuerde ich so probieren: [mm] $P_{X\leq 5}(Y\geq [/mm] 1)= 1- [mm] P_{X=0}(Y=0)+\ldots [/mm] +1- [mm] P_{X=5}(Y=0)$. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Di 27.11.2012 | | Autor: | saendra |
Danke hippias. Ich bezeichne mal teilungsfähig mit "t" und nicht teilungsfähig mit "n".
[mm] $\Omega_k =\{\omega = (\omega_1,\dots ,\omega_{5000})\ :\ \omega_{i_1},\dots ,\omega_{i_k}=t,\,\ k\in \{1,\dots 5\}\ \wedge \omega_{i_{k+1}},\dots ,\omega_{i_{5000}}=n\}$
[/mm]
[mm] $\Omega_1 =\{\omega = (\omega_1,\dots ,\omega_{5000})\ :\ \omega_i=t, i\in\{1,\dots ,5000\} \wedge \omega_{j}=n,\ j\neq i\}$
[/mm]
Ist das ein guter Anfang? Ich glaube ich stehe auf dem Schlauch....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Di 27.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo saendra,
> Ich bezeichne mal teilungsfähig mit "t" und
> nicht teilungsfähig mit "n".
Was sollen [mm] $\Omega_k$ [/mm] und [mm] $\Omega_1$ [/mm] jeweils darstellen? Eine Grundmenge (Ergebnismenge) oder ein Ereignis?
Zunächst brauchen wir eine Grundmenge. Naheliegend wäre hier, sich die Zellen durchnummeriert zu denken und
[mm] $\Omega:=\{(\omega_1,\ldots,\omega_{5000})\;|\;\omega_i\in\{t,n\}\text{ für alle }i\in\{1,\ldots,5000\}\}$
[/mm]
als Grundmenge zu wählen, wobei ein Ergebnis [mm] $(\omega_1,\ldots,\omega_{5000})$ [/mm] jeweils dafür steht, dass Zelle Nummer 1 nach der Chemotherapie Zustand [mm] $\omega_1$, [/mm] ... , Zelle Nummer 5000 nach der Chemotherapie Zustand [mm] $\omega_{5000}$ [/mm] hat.
> [mm]\Omega_k =\{\omega = (\omega_1,\dots ,\omega_{5000})\ :\ \omega_{i_1},\dots ,\omega_{i_k}=t,\,\ k\in \{1,\dots 5\}\ \wedge \omega_{i_{k+1}},\dots ,\omega_{i_{5000}}=n\}[/mm]
Du meinst sicherlich:
[mm] $A:=\{(\omega_1,\ldots,\omega_{5000})\;|\;\exists i_1,\ldots,i_{5000}\in\{1,\ldots,5000\}\text{ paarweise verschieden mit }\exists k\in\{0,\ldots,5\}\colon\omega_{i_1}=\ldots=\omega_{i_k}=t\wedge\omega_{i_{k+1}}=\ldots=\omega_{5000}=n\}$.
[/mm]
Dann beschreibt A das Ereignis, dass die Chemotherapie erfolgreich war.
Es gilt übrigens:
[mm] $A=\{(\omega_1,\ldots,\omega_{5000})\in\Omega\;|\;|\{i\in\{1,\ldots,5000\}\,|\,\omega_i=t\}|\le 5\}$.
[/mm]
Diese Darstellung finde ich einfacher, so dass ich A gleich so definieren würde.
Ich würde nun annehmen, dass die entnommenen Zellen die Zellen Nummer 1 bis 10 sind. Wie sieht dann das Ereignis B aus, dass eine zweite Chemotherapie durchgeführt wird?
Welche Wahrscheinlichkeit soll ein Ergebnis [mm] $(\omega_1,\ldots,\omega_{5000})\in\Omega$ [/mm] erhalten? Das hängt natürlich von dem "Zufalls-Mechanismus" ab, nach dem die einzelnen Zellen nach der Chemo noch teilbar sind oder nicht. Ich würde annehmen, dass die Teilbarkeit der einzelnen Zellen unabhängig voneinander ist und dass die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Zelle, nach der Chemo noch teilbar zu sein, [mm] $\theta\in(0,1)$ [/mm] beträgt. Ist dieses [mm] $\theta$ [/mm] durch die Aufgabenstellung gegeben?
Welche (bedingte) Wahrscheinlichkeit ist gesucht?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 27.11.2012 | | Autor: | saendra |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi Tobias, vielen lieben Dank für deine Hilfe.
Es ist leider kein so $ \theta\in(0,1) $ gegeben. Ich habe bei der Grundmenge falsch gedacht und stattdessen ein Ereignis hingeschrieben.
Dann untersucht man also die ersten 10 Zellen der Gewebeentnahme, die die Zustände $\omega_1,\dots ,\omega_{10}$ haben. Davon können theoretisch bis zu 5 Zustände =t sein, aber auch alle =n.
Das hängt also davon ab, wie viele teilbare Tumorzellen (0 bis 5) in der Probe waren.
Hmmm. Ich könnte jetzt die Mächtigkeit von A ausrechnen. Aber ich muss irgendwie ein Schnitt von 2 Ereignissen A und B hinbekommen, weil es ja die bedingte Wahrscheinlichkeit ist.
B könnte dann $B=\{\omega=(\omega_1,\dots \omega_{10})\ :\ \exists j\in\{1,\dots ,5\} \mbox{ mit \omega_{i_{1}}=\dots =\omega_{i_j}=t,\quad \omega_{i_{j+1}}=\dots =\omega_{i_{10}}=n\}$
bzw. $B^C=\{\omega=(\omega_1,\dots \omega_{10})\ :\ \omega_i=n\quad \forall i=1,\dots ,10\}$
Aber schneiden kann ich dann A und B nicht. Puhh ist das schwierig!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Di 27.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Es ist leider kein so [mm]\theta\in(0,1)[/mm] gegeben.
Hast du die vollständige Aufgabenstellung wiedergegeben? Findet sich darin wirklich keine Angabe, wie wahrscheinlich es für eine Zelle ist, nach der Chemo teilbar zu sein? Ohne eine solche Angabe wird man wohl kaum eine konkrete Zahl herausbekommen können.
> Dann untersucht man also die ersten 10 Zellen der
> Gewebeentnahme, die die Zustände [mm]\omega_1,\dots ,\omega_{10}[/mm]
> haben. Davon können theoretisch bis zu 5 Zustände =t
> sein, aber auch alle =n.
> Das hängt also davon ab, wie viele teilbare Tumorzellen (0
> bis 5) in der Probe waren.
Ja.
> Hmmm. Ich könnte jetzt die Mächtigkeit von A ausrechnen.
Vorsicht. Eine Laplace-Verteilung liegt hier sicherlich nicht vor, da wohl kaum jedes 5000-Tupel die gleiche Wahrscheinlichkeit haben dürfte.
> Aber ich muss irgendwie ein Schnitt von 2 Ereignissen A und
> B hinbekommen, weil es ja die bedingte Wahrscheinlichkeit
> ist.
Ja. Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A.
> B könnte dann [mm]B=\{\omega=(\omega_1,\dots \omega_{10})\ :\ \exists j\in\{1,\dots ,5\} \mbox{ mit \omega_{i_{1}}=\dots =\omega_{i_j}=t,\quad \omega_{i_{j+1}}=\dots =\omega_{i_{10}}=n\}[/mm]
Wir hatten uns darauf geeinigt, dass wir als Ergebnisse (Elemente von [mm] $\Omega$) [/mm] 5000-Tupel ansehen. Also besteht jedes Ereignis aus $5000$-Tupeln.
Wieder weiß ich so nicht, was die [mm] $i_m$ [/mm] sein sollen.
Ich schlage folgende Darstellung vor:
[mm] $B:=\{(\omega_1,\ldots,\omega_{5000})\in\Omega\;|\;\exists i\in\{1,\ldots,10\}\colon\omega_i=t\}$.
[/mm]
> Aber schneiden kann ich dann A und B nicht.
Dein Ansatz, mit [mm] $B^c$ [/mm] zu arbeiten, war hier schon geschickt. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt
[mm] $P(B|A)=1-P(B^c|A)=\ldots$.
[/mm]
> Puhh ist das
> schwierig!
In der Tat erscheint mir diese Aufgabe auch schwierig. (Falls jemand einen viel leichteren Lösungsweg sieht, möge er/sie ihn posten!)
Bezeichne [mm] $A_j$ [/mm] für [mm] $j\in\{0,\ldots,5\}$ [/mm] das Ereignis, dass genau j der 5000 Zellen nach der Chemo teilbar sind. Also
[mm] $A_j:=\{(\omega_1,\ldots,\omega_{5000})\in\Omega\;|\;|\{i\in\{1,\ldots,5000\}|\omega_i=t\}|=j\}$.
[/mm]
Dann gilt
[mm] $A=\bigcup_{j=0}^5A_j$
[/mm]
und die Vereinigung ist disjunkt.
Um $P(A)$ zu bestimmen, genügt es also, [mm] $P(A_j)$ [/mm] für [mm] $j=0,\ldots,5$ [/mm] zu bestimmen und diese Einzel-Wahrscheinlichkeiten aufzuaddieren.
Um aber überhaupt irgendeine Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, brauchen wir zunächst eine geeignete Wahrscheinlichkeits-Verteilung auf [mm] $\Omega$.
[/mm]
Sei dazu
[mm] $X\colon\Omega\to\IN_0,\quad X((\omega_1,\ldots,\omega_{5000})):=|\{i\in\{1,\ldots,5000\}|\omega_i=t\}|$
[/mm]
die Zufallsgröße, die die Anzahl der noch teilbaren Zellen unter den 5000 Zellen angebe. (Damit ließen sich auch $A$ und die [mm] $A_j$ [/mm] kürzer notieren.)
Wie soll nun [mm] $P(\{\omega\})$ [/mm] für [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $\theta$ [/mm] lauten? Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit einer konkreten Kombination der Eigenschaften teilbar/nicht teilbar für die 5000 Zellen. Diese Wahrscheinlichkeit wird nur von der Anzahl der auftretenden teilbaren Zellen abhängen, also von [mm] $X(\omega)$. [/mm] Nimm etwa zunächst das Beispiel [mm] $X(\omega)=7$. [/mm] Wie wahrscheinlich ist z.B., dass die ersten 7 Zellen teilbar sind und die übrigen 5000-7 Zellen nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 27.11.2012 | | Autor: | saendra |
Hi Tobias, ich werde mich in spätestens 3 Tagen wieder melden. Ich bin dir sehr dankbar für deine Hilfe. Falls noch etwas unklar sein sollte werde ich mich dann melden.
lg saendra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Di 27.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
EDIT: Sorry für die Verwirrung durch mein Editieren. Ich hoffe, meine ursprüngliche Version, die ich hiermit wiederhergestellt habe, stimmt nun.
Hallo hippias,
> Das wuerde ich so probieren: [mm]P_{X\leq 5}(Y\geq 1)= 1- P_{X=0}(Y=0)+\ldots +1- P_{X=5}(Y=0)[/mm].
Wenn ich jetzt nicht völlig durch den Wind bin, dürfte diese Gleichheit nicht stimmen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 Mi 28.11.2012 | | Autor: | hippias |
Ja, Du hast leider recht, aber ich hoffe der Ansatz ist trotzdem nachvollziehbar gewesen. Schon beim Aufschreiben kam mir das so komisch vor.
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