bedingte Wkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab in einem schon etwas alten Buch etwas zu bedingten Wkeiten gelesen, das mir nicht ganz klar ist.
[mm] (\Omega, \cal{A},P) [/mm] endlicher Wkeitsraum, A [mm] \in \cal{A}. [/mm] Die bedingte Wkeit ist ja so definiert: P(B|A) = [mm] \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.
[/mm]
Aus dieser Definition kann man folgende Eigenschaften herleiten:
(i) P(A|A) =1
(ii) [mm] P(\emptyset|A) [/mm] = 0
(iii) P(B|A) = 1, B [mm] \supseteq [/mm] A
(iv) [mm] P(B_1 [/mm] + [mm] B_2|) [/mm] = [mm] P(B_1|A) [/mm] + [mm] P(B_2|A)
[/mm]
Bis dahin ist noch alles klar.
Jetzt steht eine Bemerkung:
"Aus diesen Eigenschaften folgt, dass bei fixierter Menge A die bedingte Wkeit P( [mm] \dot [/mm] |A) im Raum [mm] (\Omega \cap [/mm] A, [mm] \cal{A} \cap [/mm] A) dieselbe Eigenschaft besitzt wie die ursprüngliche Wkeit P( [mm] \dot) [/mm] auf [mm] (\Omega, \cal{A}). [/mm] Dabei ist [mm] \cal{A} \cap [/mm] A = [mm] \{B \cap A : B \in \cal{A} \}."
[/mm]
Warum folgt das aus den oben genannten Eigenschaften?
Und ist [mm] \Omega \cap [/mm] A nicht einfach A?
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Do 03.04.2008 | | Autor: | Blech |
> "Aus diesen Eigenschaften folgt, dass bei fixierter Menge
> A die bedingte Wkeit P( [mm]\dot[/mm] |A) im Raum [mm](\Omega \cap[/mm] A,
> [mm]\cal{A} \cap[/mm] A) dieselbe Eigenschaft besitzt wie die
> ursprüngliche Wkeit P( [mm]\dot)[/mm] auf [mm](\Omega, \cal{A}).[/mm] Dabei
> ist [mm]\cal{A} \cap[/mm] A = [mm]\{B \cap A : B \in \cal{A} \}."[/mm]
>
> Warum folgt das aus den oben genannten Eigenschaften?
Ich würde sagen es geht um die Eigenschaften eines Wmaßes:
(i)-(iii) sind die Normiertheit (d.h. [mm] $P:\Omega\to[0,1]$ [/mm] und [mm] $P(\Omega)=1$ [/mm] wird zu [mm] $P(\cdot|A):\Omega\cap A\to [/mm] [0,1]$ mit [mm] $P(\Omega\cap [/mm] A|A)=1.$
(iv) ist Additivität.
Wobei ich nicht sehe, wie aus den genannten Eigenschaften speziell auch die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] folgen sollte. Dafür bräuchte man noch [mm] $\sigma$-Stetigkeit. [/mm] Man kann's natürlich zeigen (die bedingte Wkeit ist ja ein Wmaß), aber imho nicht direkt aus (i)-(iv).
> Und ist [mm]\Omega \cap[/mm] A nicht einfach A?
Doch, es ist nur eine suggestive Schreibweise, daß wir vom Wraum [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$ [/mm] zu einer Einschränkung auf A, d.h. [mm] $(\Omega\cap A,\mathcal{A}\cap [/mm] A, [mm] P(\cdot|A))$, [/mm] übergehen.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Do 03.04.2008 | | Autor: | Riley |
HI Stefan,
ok, danke für die Erklärung, dann ists klar.
Noch eine Frage.
Es gilt ja P(B|A) + P( [mm] \overline{B}|A) [/mm] = 1. Müssen da A und B disjunkt sein?
Also ich hab das einmal so überlegt:
P(B|A) + P( [mm] \overline{B}|A) [/mm] = [mm] \frac{P(B \cap A)}{P(A)} [/mm] + [mm] \frac{P(B^c \cap A)}{P(A)} [/mm] = [mm] \frac{P((B \cap A) \cup (B^c \cap A))}{P(A)} [/mm] = [mm] \frac{P((B \cup B^c) \cap A)}{P(A)} [/mm] = [mm] \frac{P(\Omega \cap A)}{P(A)} [/mm] = [mm] \frac{P(A)}{P(A)}=1.
[/mm]
oder so:
P(B|A) + [mm] P(B^c|A) [/mm] = [mm] \frac{P(B \cap A)}{P(A)} [/mm] + [mm] \frac{P(B^c \cap A)}{P(A)} [/mm] = [mm] \frac{P(\emptyset)}{P(A)} [/mm] + [mm] \frac{P(A)}{P(A)} [/mm] = 0+1 = 1.
Sind beide Wege okay? Aber bei beiden hab ich ja vorausgesetzt, dass A und B diskunkt sind, oder?
Viele Grüße, Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Do 03.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Riley,
ich mische mich mal frech ein ...
>
> Noch eine Frage.
> Es gilt ja P(B|A) + P( [mm]\overline{B}|A)[/mm] = 1. Müssen da A
> und B disjunkt sein?
Nein. Betrachte das Experiment: Werfen eines Wuerfels und die
Ereignisse $A$=Werfen einer geraden Zahl und $B$=Werfen einer
Primzahl. Offenbar ist [mm] $P(B\mid [/mm] A)=1/3$ und [mm] $P(\overline{B}\mid [/mm] A)=2/3$,
jedoch ist [mm] $A\cap B=\{2\}$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 03.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
danke für die Einmischung und das Beispiel, ich verstehe. D.h. nur mein erster Beweis ist richtig und der ist aber korrekt, da (A [mm] \cap [/mm] B ) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cap B^c) [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Stimmt das so?
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Do 03.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> Stimmt das so?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Do 03.04.2008 | | Autor: | Riley |
danke sehr 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Do 03.04.2008 | | Autor: | Blech |
Hi Riley,
Noch eine Anmerkung:
> Noch eine Frage.
> Es gilt ja P(B|A) + P( [mm]\overline{B}|A)[/mm] = 1. Müssen da A
> und B disjunkt sein?
Die Gleichung folgt aus (iv).
"A+B" bei Mengen heißt im allgemeinen [mm] $A\cup [/mm] B$ für disjunkte Mengen A und B.
Damit gilt (iv) für alle disjunkten Mengen [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] und damit insbesondere auch für B und [mm] $B^c$.
[/mm]
> Sind beide Wege okay? Aber bei beiden hab ich ja
> vorausgesetzt, dass A und B diskunkt sind, oder?
Hattest Du unten schon richtig gesagt, aber der Vollständigkeit halber =)
Beim 2. setzt Du voraus, daß sie disjunkt sind. Beim ersten nicht, weil für beliebiges A und B [mm] $A\cap [/mm] B$ und [mm] $A\cap B^c$ [/mm] disjunkt sind.
Mit pedantischen Grüßen,
Stefan =P
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Stefan,
danke für deine Anmerkungen. D.h. ich könnte die Gleichheit noch schöner beweisen indem ich (iv) verwende, also einfach so:
P(B|A) + [mm] P(B^c|A) [/mm] = P(B + [mm] B^c|A) [/mm] = [mm] P(\Omega [/mm] |A) = [mm] \frac{P(\Omega \cap A)}{P(A)} [/mm] = [mm] \frac{P(A)}{P(A)} [/mm] = 1 ?
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Blech |
Hallo Riley,
Ja, das kannst Du machen, aber es geht noch kürzer:
$ P(B|A) + [mm] P(B^c|A) \underset{(iv)}{=} [/mm] P(B + [mm] B^c|A) [/mm] = [mm] P(\Omega [/mm] |A) [mm] \underset{(iii)}{=}1$
[/mm]
=)
ciao,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Stefan,
stimmt, okay, dankeschön vielmals!
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
|
