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Hallo Matheraum,
ich komm hier gerade nicht weiter und hoffe auf eure Hilfe :) undzwar versteh ich ein Problem wegen den Asymptoten nicht ganz. Ich nehme mir einfach mal ein Beispiel um zu erklären was ich nicht verstehe.
f (x) = x² / (x-3)
Ich solle nun die Asymptoten und Polstellen bestimmen. Was ist dort aber der Unterschied?
Die erste Asymptote ist doch bei 3, oder? Woher weiß ich jetzt ob es noch weitere gibt generell?
Kann mir vll jemand eine Seite sagen wo das mit den Asymptoten nochmal verständlich erklärt wird?
Danke für eure Hilfe
MFG
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[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Der Unterschied zwischen Polstellen und Asymptoten ist folgender -- mit Polstellen beschreibst du die Definitions-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{lücken der Funktion, also diejenigen Stellen, an denen der Nenner nicht definiert ist (Nullstellen des Nenners!) Die Annäherung des}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Graphen an diese Stellen kann auch durch eine senkrechte Asymptote gekennzeichnet werden. Jede Polstelle hat also}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{eine senkrechte Asymptote (in deinem Beispiel in der Tat }x=3\text{).}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Der andere Typ Asymptote ist die Funktion, an die sich der Graph im Unendlichen annähert.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Dafür gibt es verschiedene Regeln, die diese Näherungsfunktion definieren. Dazu werden der Grad des Zähler-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{und der des Nennerpolynoms in Betracht gezogen.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Sei }m\text{ das höchste Zähler- und }n\text{ das höchste Nennerpolynom und }a\left(x\right)\text{ die Näherungsasymptote.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Die allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion: }f\left(x\right)=\bruch{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\bruch{a_{m}x^m+a_{m-1}x^{m-1}+\dots + a_{1}x_{1}+x_0}{b_{n}x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots + b_{1}x_{1}+x_0}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{In deinem Beispiel wären dann }m=2\text{ und }n=1\text{. Jetzt gelten folgende Regeln:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily [/mm] m<n [mm] \Rightarrow a\colon a\left(x\right)=0$
[/mm]
[mm] $\rmfamily m=n\Rightarrow a\colon a\left(x\right)=\bruch{a_m}{b_n}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily m>n\Rightarrow \text{ durch Polynomdivision neue Funktion, Näherungsfunktion ist der Teil, der nicht auf dem Bruch ist.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{In deinem Fall musst du also mal Polynomdivision durchführen. Da es natürlich nicht glatt aufgeht, musst du, sobald}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{es nicht weitergeht, den Rest, der nicht mehr weiter teilbar ist, einfach als Bruch dazuschreiben. Die restlichen}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Sachen, die du durch Polynomdivision ermittelt hast, ist dann die Asymptote.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 So 14.01.2007 | | Autor: | Kroni |
EDIT: Da war ich wohl zu spät....sry wegen Doppelpost, aber das war noch nicht zu sehen, als ich angefangne bin, das zu bearbeiten!
Ist deshalb auch natürlcih keine Frage, sondern eine Antwort.
Hallo.
Du hast dort eine gebrochenrationale Funktion vorliegen.
Eine Definitionslücke liegt bei x=3 vor. Da muss man dann noch gucken, ob es sich dort um eine Polstelle oder um eine "Lücke" im Graphen handelt.
In deinem Fall liegt dort eine Polstelle vor.
Du hast dort eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x=3.
Du hast aber noch eine Asymptote, wenn du x gegen +-unendlich gehen lässt, gibt es auch eine Gerade, an die sich dein Graph anschmiegt:
Durch Polynomdivison ergibt sich:
f(x)=x+3+9/(x-3)
Lassen wir nun x gegen +-unendlich gehen, sehen wir, dass 9/(x-3) gegen null geht, und somit x+3 übrig bleibt.
y=x+3 ist also die Asymptote, an die sich der Graph der Funktion f bei x gegen +-unendlich anschmiegt.
MfG
Kroni
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Danke für die Antworten aber ich hab leider immernoch eine Frage.
Und zwar hab ich die Polynomdivision hier nicht verstanden ( obwohl das eig etwas ist was ich eig ganz gut kann :) )
Wie kommst du durch die Poynomdivision auf folgendes Ergebnis?
f(x)=x+3+9/(x-3)
und wie lässt man eine FUnktion gegen +/- unendlich laufen??
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 So 14.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Die Polynomdivison lautet in der Aufgabe:
x²/(x-3)=x+3+9/(x-3)
-(x²-3x)
---------
+3x
- (3x-9)
---------
+9
Der Rest, der überbleibt ist ja die +9 (ist ja logisch, da die 3 keine Nullstelle ist.
Nun bleibt 9 als Rest übrig. Was mache ich also? Richtig, die 9 durch die (x-3) teilen.
Das ist dann das +9/(x-3) hinter den x-3 (die dir logisch erscheinen sollten).
Wie lässt man einen Term gegen +- Unendlich laufen?
Naja, man setzt für x sehr großer oder sehr kleine Zahlen ein. So kann man z.B. für x mal [mm] 10^{10} [/mm] einsetzen und sehen, dass das ganze dann gegen unendlich läuft...
Naja....oder aber, man guckt sich den Term mal an:
Den Bruch 9/(x-3) kann man in Zähler und Nenner aufteilen:
Zähler ist konstant, also unabhängig von x
Der Nenner ist x-3. Setzte ich dann mal gedanklich für x sehr große Werte ein, so kann ich das -3 vernachlässigen.
Also läuft x-3 für sehr große Werte auch gegen unendlich.
Da dann der Zähler konstant ist und der Nenner gegen unendlich läuft steht dann dort:
1/"sehr großer Zahl" was bekanntlich dann letztendlich gegen Null geht.
D.h. umgeschrieben durch die Polynomdivison sieht diene Funtkion dann so aus:
[mm] f(x)=x^2/(x-3)=x+3+9/(x-3)
[/mm]
Der letzte Bruch läuft wie oben beschrieben gegen 0, fällt sozusagen dann für große x weg (ebenfalls wenn x gegen minus unendlich geht...aber das muss man dann auch nochmal untersuchen)
So bleibt dann dort stehen:
f(x)=x+3, d.h. die der Graph von f schmiegt sich für große bzw keleine x auch in diesem Fall der Geraden y=x+3 an.
MfG
Kroni
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