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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - bernoullische ungleichung
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bernoullische ungleichung: idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Fr 04.07.2008
Autor: marie11

Aufgabe
zeige,dass [mm] (1+x)^a\ge1+ax [/mm] für alle [mm] x>-1,a\ge1. [/mm]

wie soll ich zeigen?
        
Bezug
bernoullische ungleichung: Tipp: Induktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Fr 04.07.2008
Autor: barsch

Hi,

spontan fiele mir jetzt Induktion ein:

Induktion über a.

Induktionsanfang: a=1: [mm] (1+x)^1=1+x\ge1+1*x=1+x [/mm] stimmt.

[stop] Bevor du jetzt weiterliest, versuche dich doch einmal selbst an der Induktion ;-) - das hilft dir vielleicht mehr.



Jetzt kannst du vergleichen bzw. Anregungen holen, wenn es irgendwo hängt.

Induktionsvoraussetzung: Es gelte [mm] (1+x)^a\ge1+ax [/mm]  für alle $ [mm] x>-1,a\ge1. [/mm] $

Induktionsschritt: [mm] a\to{a+1} [/mm]

[mm] (1+x)^{a+1}=(1+x)^a*(1+x) [/mm] Benutzen wir jetzt die Induktionsvoraussetzung [mm] (1+x)^a\ge1+ax, [/mm] so erhalten wir:

[mm] (1+x)^{a+1}=(1+x)^a*(1+x)\ge(1+ax)*(1+x)=1+x+ax+ax^2 [/mm]

[mm] 1+x+ax+ax^2 [/mm] können wir ja abschätzen mit: [mm] 1+x+ax+ax^2\ge1+x+ax [/mm]

Das heißt:


[mm] (1+x)^{a+1}=(1+x)^a*(1+x)\ge(1+ax)*(1+x)=1+x+ax+ax^2\ge1+x+ax=1+(a+1)*x [/mm]

Damit wäre nach Induktion die Bernoullische Ungleichung bewiesen.

MfG barsch
Bezug
                
Bezug
bernoullische ungleichung: rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 So 06.07.2008
Autor: marie11

ich danke dir.
Bezug
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