berührpunkte der cantormenge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Mi 12.04.2006 | | Autor: | huelya26 |
| Aufgabe | 1) Nach def. hat ein x der menge D (Teilmenge von R) einen Berührpunkt, wenn es ein y (x+epsylon, x-epsylon) existiert in der Menge D.
Untersuche die Cantor- Menge auf ihre Berührpunkte. |
Nach Def. sind in der Cantor-Menge alle enthaltenen Punkte selbst Berührpunkte, da zwischen den übriggebliebenen Punkten viele Abstände sind und die Menge aus unendlich vielen Punkten besteht.
Das ist meine behauptung, die ich nicht beweisen kann.
Die Cantormenge ist ja die Summe von xhoch n durch 3 hoch n, die aufgeschrieben und ausklammern von 1/3 die geometrische Reihe entspricht, wird mir diese Erkenntnis weiterhelfen , um Berührpunkt und wenns geht Häufungspunkt zu berechnen.
Danke für jeden Hinweis.
Ich habe diee Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Fr 14.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich wuerde sagen, die Cantor-Menge ist abgeschlossen (d.h. die Beruehrpunkte sind gerade die Elemente der Cantor-Menge selber und sonst keine). Das kann man auf mehrere Weisen zeigen:
- Einmal kannst du das Komplement der Cantor-Menge als Vereinigung von offenen Mengen darstellen.
- Dann kannst du es direkt nachweisen: Wenn $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$ ein Punkt ausserhalb der Cantor-Menge ist, dann musst du zeigen, dass er in einer der 'Luecken' drinnenliegt (die bei der rekursiven Konstruktion der Cantor-Menge entstehen). Da diese Luecken offen sind, kann $x$ kein Beruehrpunkt sein.
> 1) Nach def. hat ein x der menge D (Teilmenge von R) einen
> Berührpunkt, wenn es ein y (x+epsylon, x-epsylon) existiert
> in der Menge D.
Und zwar fuer jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
> Untersuche die Cantor- Menge auf ihre Berührpunkte.
> Nach Def. sind in der Cantor-Menge alle enthaltenen Punkte
> selbst Berührpunkte, da zwischen den übriggebliebenen
> Punkten viele Abstände sind und die Menge aus unendlich
> vielen Punkten besteht.
Die in einer Menge enthaltenden Punkte sind immer Beruehrpunkte der Menge: das Intervall $(x - [mm] \varepsilon, [/mm] x + [mm] \varepsilon)$ [/mm] enthaelt fuer jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ natuerlich den Punkt $x$. (Nur Haeufungspunkte sind es nicht immer.)
> Das ist meine behauptung, die ich nicht beweisen kann.
> Die Cantormenge ist ja die Summe von xhoch n durch 3 hoch
> n, die aufgeschrieben und ausklammern von 1/3 die
> geometrische Reihe entspricht, wird mir diese Erkenntnis
> weiterhelfen , um Berührpunkt und wenns geht Häufungspunkt
> zu berechnen.
Die Haeufungspunkte sind uebrigens auch genau die Punkte aus der Cantor-Menge.
> Danke für jeden Hinweis.
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LG Felix
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