beschränktes Wachstum < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 So 26.10.2008 | | Autor: | sask1a |
| Aufgabe | In einem Wald schlägt man in jedem Winter 3000 m3 Nutzholz;
der verbleibende Bestand an Nutzholz wächst dann das folgende Jahr
um 3%. Der Anfangsbestand x0 = 50 000 m3 sei der Bestand an schlagbarem Nutzholz vor dem ersten Einschlag. Analog sei xn der Bestand an schlagbarem Nutzholz vor dem (n + 1)−ten Einschlag.
a) Bestimmen Sie x4.
b) Wie lange kann man jährlich 3000 m3 Nutzholz schlagen? |
Teil a) habe ich meiner Meinung nach mit der Funktion Xn+1=1,03(Xn-3000) und X4=43348,03307 richtig gelöst.
Für Teil b) brauche ich aber eine explizite Funktion und da hakt es. Ich denke es handelt sich um ein beschränktes Wachstum also
Xn= S - a e ^(-kn)
mit der Schranke S = 0 und a sollte der Anfangsbestand also a=50000 sein.
Bei a) kam für X1=48410 raus, das verwende ich nun.
48410=0-50000e^(-k) ergibt für [mm] k\approx0.0323 [/mm] ist aber irgendwie nicht richtig.
Was mache ich falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo sask1a und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> In einem Wald schlägt man in jedem Winter 3000 [mm] m^3 [/mm]
> Nutzholz;
> der verbleibende Bestand an Nutzholz wächst dann das
> folgende Jahr
> um 3%. Der Anfangsbestand [mm] x_0 [/mm] = 50 000 [mm] m^3 [/mm] sei der Bestand an
> schlagbarem Nutzholz vor dem ersten Einschlag. Analog sei
> xn der Bestand an schlagbarem Nutzholz vor dem (n +
> 1)−ten Einschlag.
> a) Bestimmen Sie x4.
> b) Wie lange kann man jährlich 3000 m3 Nutzholz schlagen?
> Teil a) habe ich meiner Meinung nach mit der Funktion
> Xn+1=1,03(Xn-3000) und X4=43348,03307 richtig gelöst.
Schreib mal hier auf, wie du gerechnet hast:
das ergibt im Prinzip schon die von dir gesuchte Funktion:
H(n)=...
H(0)=50000
[mm] H(1)=1,03^1(50000-3000)=1,03^1(H(0)-3000)
[/mm]
[mm] H(2)=1,03[1,03^1(50000-3000)]=...
[/mm]
Umklammern und Potenzen setzen...
>
> Für Teil b) brauche ich aber eine explizite Funktion und da
> hakt es. Ich denke es handelt sich um ein beschränktes
> Wachstum also
> Xn= S - a e ^(-kn)
> mit der Schranke S = 0 und a sollte der Anfangsbestand
> also a=50000 sein.
> Bei a) kam für X1=48410 raus, das verwende ich nun.
> 48410=0-50000e^(-k) ergibt für [mm]k\approx0.0323[/mm] ist aber
> irgendwie nicht richtig.
>
> Was mache ich falsch?
>
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 26.10.2008 | | Autor: | sask1a |
Nun ja, bei a) habe ich jedes Ergebnis bis 4 einzeln ausgerechnet.
[mm] x_{n+1}=1,03(x_n-3000)
[/mm]
[mm] x_0=50000
[/mm]
[mm] x_1=1,03(50000-3000)=48410
[/mm]
[mm] x_2=1,03(48410-3000)=46772,3
[/mm]
[mm] x_3\approx45085,47
[/mm]
[mm] x_4\approx43348,03
[/mm]
Bei b) suche ich den Zeitpunkt ab dem der Holzbestand unter [mm] 3000m^3 [/mm] fällt. Die Funktion aus a) ist dafür zu umständlich, ich müsste ja jedes Jahr bis zum gewünschten Zeitpunkt ausrechnen. Beschränktes Wachstum will ich nun aber auch nicht mehr verwenden :)
Ist a) denn falsch?
Für b) hätte ich noch folgende Idee
[mm] x_n=50000e^{-0,0323n}
[/mm]
da [mm] 50000e^{1*q}=48410 [/mm] und das [mm] q\approx-0,0323 [/mm] ergibt.
Die Ergebnisse hierbei stimmen aber nicht mit denen aus a) überein.
Nein, ganz dahinter gekommen bin ich noch nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:18 Mo 27.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, diene Rechnung fuer [mm] x_4 [/mm] ist richtig.
Nein du musst ne Formel fuer [mm] x_n [/mm] rausfinden und dann n bestimmen.
Du slltest deine ersten schritte nicht die Zahlenwerte ausrechnen, sondern unausgerechnet aufschreiben.
Damit das klarer wird, fang mit der Menge A an, statt der 1,03 nimm q und statt der 3000 geschlagenen B.
also [mm] x_n=q*(x_{n-1}-B) [/mm] und [mm] x_0=A
[/mm]
Dann rechne x1,x2,x3 aus, dann solltest du schon sehen, was fuer [mm] x_n [/mm] rauskommt. (klammer B aus deinem Ergebnis aus und sortier nach Potenzen von q)
also keine kontinuierliche fkt, denn in einem halben Jahr werden ja auch nicht 1500 Baeume geschlagen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mo 27.10.2008 | | Autor: | sask1a |
Also so:
[mm] x_1=q(A-B)=Aq-Bq
[/mm]
[mm] x_2=q((Aq-Bq)-B)=Aq²-Bq²-Bq
[/mm]
[mm] X_3=Aq³-Bq³-Bq²-Bq
[/mm]
[mm] x_4=Aq^4-Bq^4-Bq³-Bq²-Bq=Aq^4-B(q^4+q³+q²+q)
[/mm]
Vor kurzem habe ich das Summenzeichen kennengelernt:
[mm] x_n=Aq^n-B\summe_{i=1}^{n}q^i
[/mm]
Und entdeckt, dass [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] sein soll.
[mm] x_n=50000\*1,03^n-3000(\bruch{1-1,03^{n+1}}{1-1,03})
[/mm]
Das setze ich mit 3000 gleich. Ergebnis sind 20 Jahre?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mo 27.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig und gut gemacht. Lies die Frage noch mal genau ob man n fuer 3000 oder n fuer 0 will.
Gruss leduart
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