besselsche ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Barncle |
Hallo nochmal!
Also sei x [mm] \in [/mm] H.Dann gilt die Besselsche Ungleichung:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} ||^2 \le \parallel x \parallel^2 [/mm]
Hab jetzt auf Wiipedia gelesen, dass die Besselsche Ungleicung besagt, dass ein Vektor in eine Hilbertraum immer indestens so lang ist, wie seine Projektionen auf Unterräume.
Gut, das ist ja schonverständlich!
Es gibt da aber noch den Speialfall der Besselschen Ungleichung und zwar die Parsevalsche Ungleichungbei der [mm] \le [/mm] einfach durch = ersetzt wird. Laut Wikipedia ist das eine Form des Sat von Pythagoras.. aber warum! Wie kann denn eine Projektion auf einen Unterraum gleich lang sein wie der Vektor selbst? Das geht ja schon anschaulich im [mm] \IR^3 [/mm] garicht..
Bitte um enkastöße warum das trotzdem sein kann!
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Fr 22.09.2006 | | Autor: | choosy |
> Hallo nochmal!
>
> Also sei x [mm]\in[/mm] H.Dann gilt die Besselsche Ungleichung:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} ||^2 \le \parallel x \parallel^2[/mm]
>
die [mm] $\phi_i$ [/mm] sollen wohl ein Orthonormalsystem bilden, sonst stimmt die aussage imho nicht
> Hab jetzt auf Wiipedia gelesen, dass die Besselsche
> Ungleicung besagt, dass ein Vektor in eine Hilbertraum
> immer indestens so lang ist, wie seine Projektionen auf
> Unterräume.
> Gut, das ist ja schonverständlich!
> Es gibt da aber noch den Speialfall der Besselschen
> Ungleichung und zwar die Parsevalsche Ungleichungbei der
> [mm]\le[/mm] einfach durch = ersetzt wird. Laut Wikipedia ist das
> eine Form des Sat von Pythagoras.. aber warum! Wie kann
> denn eine Projektion auf einen Unterraum gleich lang sein
> wie der Vektor selbst? Das geht ja schon anschaulich im
> [mm]\IR^3[/mm] garicht..
Na das geht schon und zwar hat z.B. der erste einheitsvektor im [mm] $\IR^3$ [/mm] die gleiche Norm wie in dem von ihm aufgespannten Unterraum...
eine Zweite möglichkeit ist die das der Unterraum einfach der ganze Raum selbst ist. darauf zielt denke ich die Parseval identität ab, denn ist sie für jedes x erfüllt, so ist dies äquivalent dazu das die [mm] $\phi_i$ [/mm] eine Basis des ganzen Raumes bilden.
was sie mit dem Satz von pytagoras zu tun hat ist dir klar?
wenn nicht, dann schreib sie dir man für den [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der standardbasis auf, und male ein Bild dazu.
|
|
|
|
