bestimmte Primzahlen finden < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 So 06.03.2005 | | Autor: | Cool-Y |
Also ich muss alle Primzahlen finden für die 2p+1 eine Kubikzahl ist. Ich habe dann so angefangen:
[mm] 2p+1=x^{3}
[/mm]
[mm] 2p=x^{3}-1
[/mm]
Dann habe ich das faktorisiert:
[mm] 2p=(x-1)(x^{2}+x+1)
[/mm]
Daraus habe ich gefolgert, dass 2 (x-1) teilt, da [mm] (x^{2}+x+1) [/mm] immer ungerade ist. Dann habe ich gefolgert, dass p [mm] (x^{2}+x+1) [/mm] teilt.
2n=x-1
x=2n+1
Das habe ich dann eingesetzt:
[mm] p*m=((2n+1)^{2}+(2n+1)+1)
[/mm]
[mm] p*m=4n^{2}+6n+3
[/mm]
Und jetzt ist meiner Meinung nach schon etwas falsch! Ich habe nämlich mal probiert, und diese Gleichung erfüllen schon zwei Primzahlen: 13(m=1 und n=1) und 31(m=1 und n=2). 13 ist so eine gesuchte Zahl, aber 31 nicht. Was habe ich falsch gemacht? Wie hätte ich es machen müssen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 So 06.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ich muss alle Primzahlen finden für die 2p+1 eine
> Kubikzahl ist. Ich habe dann so angefangen:
> [mm]2p+1=x^{3}
[/mm]
> [mm]2p=x^{3}-1
[/mm]
> Dann habe ich das faktorisiert:
> [mm]2p=(x-1)(x^{2}+x+1)
[/mm]
> Daraus habe ich gefolgert, dass 2 (x-1) teilt, da
> [mm](x^{2}+x+1)[/mm] immer ungerade ist. Dann habe ich gefolgert,
> dass p [mm](x^{2}+x+1)[/mm] teilt.
> 2n=x-1
> x=2n+1
> Das habe ich dann eingesetzt:
> [mm]p*m=((2n+1)^{2}+(2n+1)+1)
[/mm]
> [mm]p*m=4n^{2}+6n+3
[/mm]
> Und jetzt ist meiner Meinung nach schon etwas falsch! Ich
> habe nämlich mal probiert, und diese Gleichung erfüllen
> schon zwei Primzahlen: 13(m=1 und n=1) und 31(m=1 und n=2).
> 13 ist so eine gesuchte Zahl, aber 31 nicht. Was habe ich
> falsch gemacht? Wie hätte ich es machen müssen?
du bist eigentlich schon viel früher fertig. nämlich ist in der zeile
[m] 2p = (x-1)(x^2 + x + 1) [/m]
schon alle information enthalten, die du benötigst. auf der linken seite steht das produkt aus zwei primzahlen, so muss auch rechts das produkt aus zwei primzahlen stehen. da du schon festgestellt hast, dass $2 [mm] \, \nmid \, (x^2 [/mm] + x + 1))$ für $x [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] muss also $(x-1) = 2$ und somit [mm] $x^2 [/mm] + x + 1 = p$ die gesuchte primzahl sein, folglich ist $p = 13$ die einzige lösung! das problem, das bei dir auftritt ist, dass du nur forderst $p [mm] \, [/mm] | [mm] \, (x^2 [/mm] + x + 1)$ und somit den weiteren parameter $m$ erhälst, der aber zwangsläufig gleich $1$ sein muss!
ist die aufgabe wirklich aus der 11. klasse? ich halte die schon recht schwer für die schule.
ich hoffe dir sind die ausführungen klar, wenn nicht frage nach!
grüße
andreas
|
|
|
|
