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| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{1}{ 5 /3(x+2)(x-3) dx} [/mm] |
Vielleicht könnte jemand meinen Ansatz korrigieren und mir einen Lösungsvorschlag anbieten. Vielen Dank.
[mm] \integral_{-1}^{1}{ 5 /3(x+2)(x-3) dx}= 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /3(x+2)(x-3) dx}= 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /x^{2}-x-6dx}= 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /x(x-1)-6dx}
[/mm]
substituiere: f(x)=y=x f´(x)=dy/dx=1
[mm] 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /x^{2}-y-6dy}= 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /y_{2}dy} [/mm] + [mm] 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /-y-6dy} [/mm] = [mm] 5\*\integral_{-1}^{1}{ x^{-2}} [/mm] + [mm] 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /-y-6dy}
[/mm]
= [mm] 5\*(\{-1/4\} +\{-ln(y)\}) [/mm] .... Einsetzen der Grenzen ergibt [mm] 5\* [/mm] (-1+1=0) + (-ln(1) +ln(-1) =0 ) =0
Mir ist klar, dass die Lösung der Aufgabe so nicht korrekt sein kann. Übers Korrigieren würde ich mich freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo DonCalzone und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]\integral_{-1}^{1}{ 5 /3(x+2)(x-3) dx}[/mm]
Da steht im Integranden [mm]\frac{5}{3}\cdot{}(x+2)\cdot{}(x-3)[/mm]
Ist das gemeint?
Ich denke, du meinst eher [mm]\frac{5}{3\cdot{}(x+2)\cdot{}(x-3)}[/mm]
Es gilt in Mitteleuropa Punkt-vor Strichrechnung, also setze Klammern oder verwende den Editor, um Brüche zu schreiben ...
> Vielleicht
> könnte jemand meinen Ansatz korrigieren und mir einen
> Lösungsvorschlag anbieten. Vielen Dank.
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{ 5 /3(x+2)(x-3) dx}= 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /3(x+2)(x-3) dx}= 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /x^{2}-x-6dx}= 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /x(x-1)-6dx}[/mm]
Wohin ist nach dem zweiten "=" der Faktor [mm]\frac{1}{3}[/mm] verschwunden?
>
> substituiere: f(x)=y=x f´(x)=dy/dx=1
>
> [mm]5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /x^{2}-y-6dy}= 5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /y_{2}dy}[/mm] + [mm]5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /-y-6dy}[/mm] =
Was ist hier passiert?
> [mm]5\*\integral_{-1}^{1}{ x^{-2}}[/mm] +
> [mm]5\*\integral_{-1}^{1}{ 1 /-y-6dy}[/mm]
>
> = [mm]5\*(\{-1/4\} +\{-ln(y)\})[/mm] .... Einsetzen der Grenzen
> ergibt [mm]5\*[/mm] (-1+1=0) + (-ln(1) +ln(-1) =0 ) =0
>
> Mir ist klar, dass die Lösung der Aufgabe so nicht korrekt
> sein kann. Übers Korrigieren würde ich mich freuen!
Ich nehme mal an, dass die Aufgabe so gemeint ist, wie ich sie interpretiere, s.o.
Dann hole [mm]\frac{5}{3}[/mm] aus dem Integral: [mm]...=\frac{5}{3}\cdot{}\int\limits_{-1}^1{\frac{1}{(x+2)(x-3)} \ dx}[/mm]
Nun bietet sich eine Partialbruchzerlegung an: [mm]\frac{1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}[/mm]
Rechne das aus, dann kannst du das Integral als Summe zweier leicht zu berechnender Integrale schreiben ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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ja, richtig, dass / war als Bruchstrich gemeint. Weiß leider nicht wie ich den Bruchstrich im Quelltext angeben soll. Achso, vielen herzlichen Dank für die Rückmeldung und den Hinweis mit der Partialbruchzerlegung.
$ [mm] ...=\frac{5}{3}\cdot{}\int\limits_{-1}^1{\frac{1}{(x+2)(x-3)} \ dx} [/mm] $
Mein Ansatz:
$ [mm] \frac{1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3} [/mm] $ | [mm] \* [/mm] (x+2)(x-3)
[mm] 1=\frac{A}{x+2}\*(x+2)(x-3)+\frac{B}{x-3}\*(x+2)(x-3)
[/mm]
[mm] 1=A\*(x-3)+B\*(x+2)
[/mm]
1= Ax-3A+Bx+2B
>> 1=A+B v 1=-3A+2B >> A=-2 v B=3
$ [mm] \frac{5}{3}\cdot{}\int\limits_{-1}^1{\frac{1}{(x+2)(x-3)} \ dx} [/mm] $ [mm] =\frac{5}{3}\*(\integral_{-1}^{1}{\frac{-2}{x+2}dx}+ \integral_{-1}^{1}{ \frac{3}{x-3}dx})
[/mm]
[mm] =\frac{5}{3}\*\{-2ln|x+2| + 3ln|x-3|\} [/mm]
..wenn ich nun die Grenzen einsetze kommen sehr krumme Zahlen heraus. Auch hier denke ich, dass ich einen gravierenden Fehler in meinem Ansatz habe. Über eine kurze Korrektur würde ich mich freuen. Danke.
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Hallo DonCalzone,
Deine Partialbruchzerlegung stimmt nicht.
> ja, richtig, dass / war als Bruchstrich gemeint. Weiß
> leider nicht wie ich den Bruchstrich im Quelltext angeben
> soll.
Der eigentliche Bruchstrich kommt im Quelltext gar nicht vor. \bruch{5}{3} ergibt [mm] \bruch{5}{3}
[/mm]
> Achso, vielen herzlichen Dank für die Rückmeldung
> und den Hinweis mit der Partialbruchzerlegung.
>
> [mm]...=\frac{5}{3}\cdot{}\int\limits_{-1}^1{\frac{1}{(x+2)(x-3)} \ dx}[/mm]
>
>
> Mein Ansatz:
> [mm]\frac{1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}[/mm] | [mm]\*[/mm]
> (x+2)(x-3)
>
> [mm]1=\frac{A}{x+2}\*(x+2)(x-3)+\frac{B}{x-3}\*(x+2)(x-3)[/mm]
> [mm]1=A\*(x-3)+B\*(x+2)[/mm]
> 1= Ax-3A+Bx+2B
Bis hierher stimmts. Jetzt Koeffizientvergleich.
> >> 1=A+B v 1=-3A+2B >> A=-2 v B=3
1=A+B ist nicht richtig. Links steht doch gar kein x. Also:
[mm] 0=A+B\;\;\wedge\;\;1=-3A+2B\;\;\Rightarrow{A}=-\bruch{1}{5},\ \;\;B=\bruch{1}{5}
[/mm]
Vielleicht holst Du die 5 aus dem Zähler, die Du schon rausgezogen hast, wieder ins Integral hinein, dann wirds etwas gemütlicher.
Grüße
reverend
> [mm]\frac{5}{3}\cdot{}\int\limits_{-1}^1{\frac{1}{(x+2)(x-3)} \ dx}[/mm]
> [mm]=\frac{5}{3}\*(\integral_{-1}^{1}{\frac{-2}{x+2}dx}+ \integral_{-1}^{1}{ \frac{3}{x-3}dx})[/mm]
>
> [mm]=\frac{5}{3}\*\{-2ln|x+2| + 3ln|x-3|\}[/mm]
>
> ..wenn ich nun die Grenzen einsetze kommen sehr krumme
> Zahlen heraus. Auch hier denke ich, dass ich einen
> gravierenden Fehler in meinem Ansatz habe. Über eine kurze
> Korrektur würde ich mich freuen. Danke.
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