bestimmung v. Lösung einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mo 22.05.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Resonanzkatastrophe beim harmonischen oszillator
ein eingedämpfter harmonischer oszillator, auf den die periodische äußere kraft F(t) = A cos [mm] \alphat [/mm] einwirkt, wird beschrieben durch die diffgleichung zweiter ordnung:
x´´ + [mm] (\alpha_{0})^{2}x [/mm] = A cos [mm] \alpha [/mm] t (A, [mm] \alpha, \alpha_{0} [/mm] > 0)
Im fall [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha_{0} [/mm] spricht man von resonanz, da dann die erregerfrequenz [mm] \alpha [/mm] mit der eigenfrequenz [mm] \alpha_{0} [/mm] der ungestörten gleichung x´´ + [mm] (\alpha_{0})^{2}x [/mm] = 0 übereinstimmt.
löse die differentialgleichung für den resonanzfall [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha_{0} [/mm] zu den anfangswerten x(0) = 0, x´(0) = 0 mit hilfe des potenzreihenansatzes x(t) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}t^{n} [/mm] |
hallo liebe mitglieder!
könnt ihr mit bitte helfen, wie ich diese aufgabe lösen könnte. ich weiß nicht recht, wie ich die DGL mithilfe der potenzreihe lösen kann.
ich habe zunächst die gegebene potenzreihe zweimal abgeleitet und anschließend die 2. ableitung in die DGL eingesetzt.
aber nun weiß ich nicht weiter.
könnt ihr mir bitte zeigen, wie ich an das problem rangehen soll.
vielen dank!
VHN
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Hallo VHN,
> Resonanzkatastrophe beim harmonischen oszillator
> ein eingedämpfter harmonischer oszillator, auf den die
> periodische äußere kraft F(t) = A cos [mm]\alphat[/mm] einwirkt,
> wird beschrieben durch die diffgleichung zweiter ordnung:
> x´´ + [mm](\alpha_{0})^{2}x[/mm] = A cos [mm]\alpha[/mm] t (A, [mm]\alpha, \alpha_{0}[/mm]
> > 0)
>
> Im fall [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha_{0}[/mm] spricht man von resonanz, da
> dann die erregerfrequenz [mm]\alpha[/mm] mit der eigenfrequenz
> [mm]\alpha_{0}[/mm] der ungestörten gleichung x´´ +
> [mm](\alpha_{0})^{2}x[/mm] = 0 übereinstimmt.
> löse die differentialgleichung für den resonanzfall [mm]\alpha[/mm]
> = [mm]\alpha_{0}[/mm] zu den anfangswerten x(0) = 0, x´(0) = 0 mit
> hilfe des potenzreihenansatzes x(t) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}t^{n}[/mm]
> hallo liebe mitglieder!
>
> könnt ihr mit bitte helfen, wie ich diese aufgabe lösen
> könnte. ich weiß nicht recht, wie ich die DGL mithilfe der
> potenzreihe lösen kann.
> ich habe zunächst die gegebene potenzreihe zweimal
> abgeleitet und anschließend die 2. ableitung in die DGL
> eingesetzt.
> aber nun weiß ich nicht weiter.
vielleicht kannst du deine zwischenergebnisse einmal posten.
> könnt ihr mir bitte zeigen, wie ich an das problem
> rangehen soll.
dein ansatz ist ja richtig: ich würde die 'ansatz'-potenzreihe zweimal gliedweise differenzieren und dann in die gleichung einsetzen. genauso $x$ in der DG durch die potenzreihe ersetzen, sowie die rechte seite, das heißt den cosinus-Term, als potenzreihe schreiben. anschließend sollte koeffinzienten-Vergleich zum Ziel führen.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 22.05.2006 | | Autor: | VHN |
hallo matthias!
erstmal danke für deine antwort!
ich habe nun nach deiner anleitung versucht die aufgabe schritt für schritt zu lösen. allerdings bin ich mir bei der potenzreihendarstellung der rechten seite, also vom cos, nicht ganz sicher.
ich hoffe, du kannst mich verbessern. danke!
mein ansatz:
x´(t) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] n [mm] t^{n-1}
[/mm]
x´´(t) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] n (n-1) [mm] t^{n-2}
[/mm]
cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (\alpha)^{2n}
[/mm]
ich setze nun in die DGL ein:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] n (n-1) [mm] t^{n-2} [/mm] + [mm] (\alpha)^{2} \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{n} [/mm] = A t [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (\alpha)^{2n}
[/mm]
hier bin ich mir bei der rechten seite nicht sicher. wird der cos nur über [mm] \alpha [/mm] gebildet, oder über [mm] (\alpha [/mm] t)?
und wie bau ich die matrix A in die reihe mit ein?
bei meinem ansatz oben bin ich davon ausgegangen, dass nur cos [mm] (\alpha) [/mm] gemeint ist.
stimmt folgendes dann für die rechte seite?
A cos [mm] (\alpha) [/mm] t = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] t [mm] \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (\alpha)^{2n}
[/mm]
ich habe die matrix A als koeffizienten [mm] a_{n} [/mm] eingebaut. stimmt das so?
wie meinst du das mit dem koeffizientenvergleich? soll ich die [mm] a_{n} [/mm] miteinander vergleichen? was ist mit den [mm] \alpha?
[/mm]
und kommen die anfangswerte zum einsatz?
ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen! vielen dank!
VHN
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Hi VHN,
> mein ansatz:
> x´(t) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] n [mm]t^{n-1}[/mm]
> x´´(t) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] n (n-1) [mm]t^{n-2}[/mm]
>
das sieht soweit gut aus! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> cos [mm](\alpha)[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (\alpha)^{2n}[/mm]
>
s.u.
> ich setze nun in die DGL ein:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] n (n-1) [mm]t^{n-2}[/mm] + [mm](\alpha)^{2} \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{n}[/mm]
> = A t [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (\alpha)^{2n}[/mm]
>
> hier bin ich mir bei der rechten seite nicht sicher. wird
> der cos nur über [mm]\alpha[/mm] gebildet, oder über [mm](\alpha[/mm] t)?
das ganze macht eigentlich nur dann sinn, wenn der cos über [mm] $\alpha\cdot [/mm] t$ gebildet wird, sonst hast du rechts keine potenzreihe in $t$...
> und wie bau ich die matrix A in die reihe mit ein?
Wie kommst du darauf , dass A eine matrix ist?!?
> bei meinem ansatz oben bin ich davon ausgegangen, dass nur
> cos [mm](\alpha)[/mm] gemeint ist.
> stimmt folgendes dann für die rechte seite?
> A cos [mm](\alpha)[/mm] t = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] t
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (\alpha)^{2n}[/mm]
>
> ich habe die matrix A als koeffizienten [mm]a_{n}[/mm] eingebaut.
> stimmt das so?
>
> wie meinst du das mit dem koeffizientenvergleich? soll ich
> die [mm]a_{n}[/mm] miteinander vergleichen? was ist mit den [mm]\alpha?[/mm]
wenn du alle terme als potenzreihen in $t$ hast, musst du die koeffizienten der [mm] $t^n$-Terme [/mm] vergleichen. Dafür musst du wohl zunächst eine index-verschiebung beim ableitungsterm durchführen.
> und kommen die anfangswerte zum einsatz?
Ich habe die endgültige lösung auch noch nicht vor augen, vielleicht versuchst du erstmal, meine vorschläge umzusetzen....
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Di 23.05.2006 | | Autor: | VHN |
hallo matthias!
ich hab es jetzt nun versucht, komme aber leider nicht weiter.
erstmal ne generelle frage: was ist dieses A, wenn es keine matrix ist? und wie baue ich dann dieses A in die potenzreihe ein? als konstante?
linke seite = (durch indexverschiebung)
= [mm] \summe_{n=-2}^{\infty} a_{n+2} [/mm] (n+2) (n+1) [mm] t^{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (\alpha)^{2} t^{n}
[/mm]
aber wie fass ich das jetzt zusammen, so dass ich dann die koeffizienten der [mm] t^{n} [/mm] vergleichen kann?
kann ich die linke seite auch wie folgt aufstellen?
linke seite = [mm] \bruch{1}{t^{2}} \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] (n) (n-1) [mm] t^{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (\alpha)^{2} t^{n}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{a_{n} (n) (n-1)}{t^{2}} [/mm] + [mm] a_{n} (\alpha)^{2}) t^{n}
[/mm]
jetzt die rechte seite:
rechte seite = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] A [mm] \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (\alpha)^{2n} t^{2n}
[/mm]
wie kann ich aber bei der rechten seite die indices verschieben, so dass nur noch [mm] t^{n} [/mm] dasteht?
ich hoffe, du kannst mir auch hier weiterhelfen!
vielen dank schonmal!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 23.05.2006 | | Autor: | Binie |
Hallo
zu deiner ganz linken Potenzreihe:
bin mir zwar nicht sicher, aber ich denke es ist nicht so gut im Koeffizienten wieder ein t zu haben (wie bei der zweiten Lösung).
Sieh dir stattdessen doch mal an, was mit den ersten beiden Summanden geschieht. Diese fallen doch weg, einmal für n=0 und auch für n=1, also kannst du diese weglassen und die Summe nach ein paar Veränderungen mit n=0 beginnen lassen und zwar als
[mm] \sum_{n=0}^{unendl} a_{n+2} (n+2) (n+1) t^n [/mm]
Nun kannst du die beiden Polynome auf den linken Seite zusammen fassen, ich gebe nur ehrlich zu ich weiß nicht was das dann genau bringt, aber dazu kann evtl jmd anders was sagen.
Lg Binie
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